Sin, cos en tan in een rechthoekige driehoek
Goniometrie (in het Nederlandse middelbaar onderwijs ook wel kortweg 'trigonometrie' genoemd in de bovenbouw) bestudeert de relaties tussen hoeken en zijden van driehoeken. In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek theta zijn de drie basisverhoudingen sin(theta) = overstaande/schuine zijde, cos(theta) = aanliggende/schuine zijde en tan(theta) = overstaande/aanliggende zijde. Op het examenprogramma havo wiskunde B en vwo wiskunde B (vastgesteld door het Examenblad van het College voor Toetsen en Examens) staat dit als onderdeel van het subdomein 'Driehoeksmeting' verplicht.
De ezelsbruggetjes SOS-CAS-TOA of de Engelse variant SOH-CAH-TOA helpen leerlingen om de drie verhoudingen uit elkaar te houden. Deze rekenmachine accepteert zowel graden (DEG) als radialen (RAD); zorg dat de modus klopt voordat je gaat rekenen, want sin(30°) is iets heel anders dan sin(30 rad).
Inverse functies: arcsin, arccos en arctan
De inverse goniometrische functies arcsin, arccos en arctan (in Nederlandse schoolboeken vaak geschreven als sin^-1, cos^-1, tan^-1) leveren een hoek bij een gegeven verhouding. Voorbeeld: arcsin(0,5) = 30° want sin(30°) = 0,5; arctan(1) = 45° want tan(45°) = 1.
Om er functies van te maken zijn de uitkomsten beperkt: arcsin en arctan leveren waarden in [-90°, 90°], arccos in [0°, 180°]. Op de wetenschappelijke rekenmachine (Casio fx-82 of Texas TI-30, beide toegestaan op het Centraal Eindexamen havo/vwo wiskunde) bereik je de inverse via de SHIFT- of 2nd-toets.
De eenheidscirkel
De eenheidscirkel is een cirkel met straal 1 rond de oorsprong van het assenstelsel. Voor elke hoek theta, gemeten tegen de klok in vanaf de positieve x-as, heeft het punt op de cirkel coordinaten (cos theta, sin theta). Hiermee breid je sinus en cosinus uit naar alle reele hoeken, niet alleen de scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek.
De eenheidscirkel verklaart waarom sin en cos periodiek zijn met periode 360° (2*pi radialen), waarom de tekens van de functies per kwadrant verschillen en waar de bijzondere waarden voor 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150° vandaan komen. In de eindexamenstof vwo wiskunde B is de eenheidscirkel het centrale denkmiddel voor periodieke functies en harmonische trillingen.
Sinusregel en cosinusregel voor willekeurige driehoeken
Voor driehoeken die niet rechthoekig zijn gebruik je de sinusregel: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Deze pas je toe als je twee hoeken en een zijde kent (HHZ/ZHH) of twee zijden met een niet-ingesloten hoek (ZZH). Let bij ZZH op de ambigue casus: er kunnen nul, een of twee oplossingen zijn.
De cosinusregel c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C) is een veralgemening van de stelling van Pythagoras en pas je toe als je drie zijden (ZZZ) of twee zijden en de ingesloten hoek (ZHZ) kent. Beide regels staan op de formulekaart van het Centraal Eindexamen havo/vwo wiskunde B en zijn verplichte stof.
Graden vs radialen: schakelen op de rekenmachine
Een volledige cirkel is 360 graden of 2*pi radialen. Omrekenen gaat met radialen = graden * pi/180 en graden = radialen * 180/pi. In de Nederlandse havo wiskunde B wordt nog veel in graden gewerkt, in vwo wiskunde B vanaf klas 5 vrijwel uitsluitend in radialen omdat de afgeleiden van sin(x) en cos(x) alleen netjes uitkomen in radialen.
Schakel op je rekenmachine via SETUP of MODE tussen DEG en RAD. Een veelgemaakte fout op het eindexamen is dat de leerling in de verkeerde modus rekent. Controleer aan de hand van een ijkwaarde: sin(30°) moet 0,5 opleveren, sin(pi/6 rad) ook. Als de uitkomst raar is, staat de modus waarschijnlijk verkeerd.
Toepassingen in navigatie, architectuur en geodesie
Goniometrie wordt elke dag toegepast bij landmeten door het Kadaster (Apeldoorn), waar geodeten met een total station hoeken en afstanden meten om percelen, gebouwen en infrastructuur in te meten in het Rijksdriehoekstelsel (RD-coordinaten). De berekeningen achter de RD-projectie en het Nationaal Wegen Bestand leunen volledig op goniometrische functies.
In de bouwsector gebruiken constructeurs sin, cos en tan voor het berekenen van dakhellingen, trapsteken (Bouwbesluit 2012, hoofdstuk 2.5) en sterkteberekeningen volgens de Eurocodes. In de luchtvaart en scheepvaart bepalen piloten en navigatoren koersen, drift en posities met de sinusregel op de bolvormige aarde. Voor scholieren komt dit terug in de praktische opdracht van het profielwerkstuk havo/vwo.
