Son los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos. Las tres razones básicas son seno (cateto opuesto / hipotenusa), coseno (cateto adyacente / hipotenusa) y tangente (cateto opuesto / cateto adyacente). En español se suele usar el nemónico SOH-CAH-TOA o simplemente recordar que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, mientras que opuesto y adyacente se nombran respecto al ángulo que se está resolviendo.

Seno, coseno y tangente son las tres funciones principales. Cosecante (csc = 1/sen), secante (sec = 1/cos) y cotangente (cot = 1/tan) son sus recíprocas. La tangente también puede expresarse como sen/cos, y la cotangente como cos/sen. La secante y la cosecante se vuelven indefinidas cuando su denominador (coseno o seno) vale 0, lo que produce asíntotas verticales en la gráfica.

El círculo unidad es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Para cualquier ángulo θ medido en sentido antihorario desde el eje x positivo, el punto sobre la circunferencia tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Esta definición extiende seno y coseno a todos los números reales, explica los signos de cada función en los cuatro cuadrantes y muestra por qué ambas son periódicas con periodo 360° (2π radianes).

La identidad fundamental es sen²θ + cos²θ = 1, que se deduce directamente del teorema de Pitágoras aplicado al círculo unidad. Dividiendo ambos miembros entre cos²θ se obtiene 1 + tan²θ = sec²θ, y dividiendo entre sen²θ se obtiene 1 + cot²θ = csc²θ. Estas tres relaciones son esenciales para simplificar expresiones, resolver ecuaciones trigonométricas y demostrar otras identidades.

Los grados dividen una circunferencia completa en 360 partes iguales y son habituales en geometría escolar, topografía, navegación y construcción. Los radianes miden el ángulo mediante la longitud de arco sobre el círculo unidad, por lo que una vuelta completa son 2π radianes. La conversión es radianes = grados × π/180. En cálculo diferencial e integral y en física los radianes son obligatorios porque las derivadas de sen y cos son más sencillas (d/dx sen x = cos x solo si x está en radianes). Verifica siempre el modo de la calculadora antes de evaluar.

Las funciones inversas arcsen, arccos y arctan (también escritas sen⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) devuelven el ángulo que produce una razón dada. Por ejemplo, arcsen(0.5) = 30° porque sen(30°) = 0.5. Para que sean funciones se restringe su rango: arcsen y arctan devuelven valores en [−90°, 90°] y arccos en [0°, 180°]. Son indispensables para hallar ángulos cuando se conocen los lados de un triángulo.

Para triángulos oblicuángulos se usan la ley de senos y la ley de cosenos. La ley de senos (a/senA = b/senB = c/senC) se aplica cuando conoces dos ángulos y un lado (AAS o ASA) o dos lados y un ángulo no comprendido (SSA). La ley de cosenos (c² = a² + b² − 2ab·cosC) se usa cuando conoces tres lados (SSS) o dos lados y el ángulo comprendido (SAS). Después de calcular un ángulo, recuerda que los tres ángulos internos suman 180°.