In un triangolo rettangolo, fissato un angolo acuto α, il seno è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa (sen α = opp/ip), il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa (cos α = adj/ip) e la tangente è il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente (tan α = opp/adj). Vale anche la relazione tan α = sen α / cos α, utile quando il coseno è già stato calcolato. Questi tre rapporti sono il cuore della trigonometria del biennio del liceo scientifico.

Il cerchio trigonometrico (o circonferenza goniometrica) è la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine degli assi cartesiani. Dato un angolo α misurato dal semiasse positivo delle ascisse in senso antiorario, il punto sulla circonferenza ha coordinate (cos α, sen α). Questa definizione estende seno e coseno a qualunque angolo reale, spiega i segni nei quattro quadranti e mostra perché entrambe le funzioni sono periodiche di periodo 360° (2π radianti). È lo strumento fondamentale del quinto anno del liceo scientifico per studiare le funzioni goniometriche.

I gradi sessagesimali dividono l'angolo giro in 360 parti uguali e sono comodi in geometria, navigazione e nelle situazioni quotidiane (architettura, topografia). I radianti misurano l'angolo come lunghezza dell'arco corrispondente sulla circonferenza unitaria: un angolo giro vale 2π rad. La conversione è radianti = gradi · π/180. In analisi matematica, fisica e nelle formule di derivate e integrali si usano sempre i radianti, perché solo così vale d/dx (sen x) = cos x. Prima di calcolare seno, coseno o tangente, controlla sempre se la calcolatrice è in modalità DEG o RAD.

Le identità fondamentali sono: l'identità pitagorica sen²α + cos²α = 1; la definizione della tangente tan α = sen α / cos α; le identità derivate 1 + tan²α = sec²α e 1 + cot²α = csc²α. Si aggiungono le formule di addizione sen(α±β) = sen α cos β ± cos α sen β e cos(α±β) = cos α cos β ∓ sen α sen β, le formule di duplicazione sen(2α) = 2 sen α cos α e cos(2α) = cos²α - sen²α, e le identità delle cofunzioni sen(90° - α) = cos α e cos(90° - α) = sen α. Queste relazioni sono richieste nella seconda prova di matematica della maturità scientifica.

Per definizione tan α = sen α / cos α. A 90° si ha sen(90°) = 1 e cos(90°) = 0, quindi tan(90°) corrisponderebbe alla divisione 1/0, che in matematica non è ammessa. Sul grafico la tangente presenta asintoti verticali in α = 90° + k·180° (con k intero) e tende a +∞ avvicinandosi da sinistra, a -∞ da destra. Sulla calcolatrice, l'inserimento di tan(90°) in modalità gradi restituisce di solito un messaggio di errore o un numero enorme dovuto all'approssimazione, non un valore reale.

Le Indicazioni Nazionali del MIM per il liceo scientifico richiedono di conoscere a memoria i valori per 0°, 30°, 45°, 60° e 90°: sen(0°) = 0, sen(30°) = 1/2, sen(45°) = √2/2, sen(60°) = √3/2, sen(90°) = 1; per il coseno i valori sono invertiti (cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0). La tangente si ricava come quoziente: tan(30°) = 1/√3, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3, tan(90°) indefinita. Questi valori compaiono quasi sempre nelle prove INVALSI di matematica e nelle simulazioni della seconda prova della maturità scientifica.

Le funzioni inverse arcoseno (arcsin o sen⁻¹), arcocoseno (arccos o cos⁻¹) e arcotangente (arctan o tan⁻¹) restituiscono l'angolo a partire da un rapporto. Per esempio, arcsin(0,5) = 30° perché sen(30°) = 0,5. Per essere funzioni univoche hanno un dominio limitato: arcsin e arctan restituiscono valori in [-90°, 90°] (cioè [-π/2, π/2]), mentre arccos restituisce valori in [0°, 180°] ([0, π]). Sono indispensabili per risolvere triangoli quando si conoscono due lati e si vuole trovare l'angolo, e compaiono nelle prove scritte di matematica del liceo scientifico.

Il teorema dei seni (a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R) si usa quando si conoscono due angoli e un lato (caso AAL o ALA) oppure due lati e un angolo non compreso (caso LLA), con attenzione al caso ambiguo. Il teorema del coseno (c² = a² + b² - 2ab·cos C) si usa quando si conoscono i tre lati (caso LLL) o due lati e l'angolo compreso (caso LAL), perché in queste configurazioni il teorema dei seni da solo non basta a iniziare la risoluzione. Entrambi i teoremi sono parte del programma del secondo biennio del liceo scientifico previsto dal MIM.