Trigonometrierechner
Trigonometrische Funktionen und Umkehrfunktionen berechnen sowie Dreiecke lösen
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrie verstehen
Die Trigonometrie befasst sich mit den Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten von Dreiecken. Das Wort stammt aus dem Griechischen: 'trigonon' (Dreieck) und 'metron' (Maß). Sie ist grundlegend für Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften, Astronomie und viele weitere Fachgebiete.
Die sechs trigonometrischen Funktionen – Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekans und Kotangens – setzen einen Winkel in Beziehung zu Seitenverhältnissen in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Funktionen gehen über Dreiecke hinaus und beschreiben periodische Phänomene wie Wellen, Schwingungen und Kreisbewegungen.
Die Trigonometrie verbindet Geometrie mit Algebra und ermöglicht die Lösung von Problemen mit Winkeln, Entfernungen und periodischen Vorgängen. Von der Berechnung von Gebäudehöhen bis zur Modellierung von Schallwellen – Trigonometrie ist allgegenwärtig.
Die sechs trigonometrischen Funktionen
Sinus (sin)
Gegenkathete / Hypotenuse. Hauptfunktion für Wellen und Schwingungen.
Kosinus (cos)
Ankathete / Hypotenuse. 90°-Phasenverschiebung gegenüber dem Sinus.
Tangens (tan)
Gegenkathete / Ankathete = sin/cos. Steigung einer Geraden unter dem Winkel θ.
Kehrwerte
csc = 1/sin, sec = 1/cos, cot = 1/tan.
Häufige Winkelwerte
Diese besonderen Winkelwerte sollten Sie für die schnelle Orientierung auswendig kennen:
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 0 | 1 | 0 |
| 30° (π/6) | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° (π/3) | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° (π/2) | 1 | 0 | nicht definiert |
| 180° (π) | 0 | -1 | 0 |
Wichtige trigonometrische Identitäten
Pythagoräische Identitäten
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ. Aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet.
Additions-/Subtraktionsformeln
sin(A±B) = sinA·cosB ± cosA·sinB. cos(A±B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB. Unerlässlich für die Kombination von Winkeln.
Doppelwinkelformeln
sin(2θ) = 2sinθ·cosθ. cos(2θ) = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ.
Komplementwinkel-Identitäten
sin(90°−θ) = cosθ, cos(90°−θ) = sinθ. Funktionen komplementärer Winkel sind miteinander verknüpft.
Häufig gestellte Fragen
Wann sollte ich Grad und wann Bogenmaß verwenden?
Verwenden Sie Grad für alltägliche Winkel (Architektur, Navigation). Bogenmaß eignet sich für Analysis, Physik und höhere Mathematik – es vereinfacht Formeln. π Bogenmaß = 180°.
Warum ist tan(90°) nicht definiert?
tan(90°) = sin(90°)/cos(90°) = 1/0. Division durch null ist nicht definiert. Die Tangentenfunktion hat senkrechte Asymptoten bei 90°, 270° usw.
Was sind inverse trigonometrische Funktionen?
arcsin, arccos, arctan (auch als sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ geschrieben) ermitteln den Winkel aus einem gegebenen Verhältnis. Wenn sin(30°) = 0,5, dann ist arcsin(0,5) = 30°.
Wie löse ich ein Dreieck?
Verwenden Sie den Sinussatz (a/sinA = b/sinB = c/sinC), wenn Sie einen Winkel und seine gegenüberliegende Seite kennen. Nutzen Sie den Kosinussatz (c² = a² + b² − 2ab·cosC) für andere Fälle.
Profi-Tipps
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