Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport du cote oppose sur l'hypotenuse, le cosinus est le rapport du cote adjacent sur l'hypotenuse, et la tangente est le rapport du cote oppose sur le cote adjacent. On retient souvent le moyen mnemotechnique SOH-CAH-TOA. La tangente s'ecrit aussi comme tan(theta) = sin(theta)/cos(theta), ce qui explique pourquoi elle n'est pas definie lorsque cos(theta) vaut zero.

Le cercle trigonometrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans le plan muni d'un repere orthonorme. Pour un angle theta mesure depuis l'axe des abscisses dans le sens direct, le point image M sur le cercle a pour coordonnees (cos(theta), sin(theta)). Cette construction etend la definition de sin et cos a tous les reels, montre la periodicite de periode 2.pi et permet de lire directement les signes des fonctions dans chacun des quatre quadrants.

Les degres divisent le tour complet en 360 parts egales et restent pratiques pour la geometrie elementaire, la navigation et la vie courante. Les radians mesurent un angle par la longueur d'arc sur le cercle unite, donc un tour complet vaut 2.pi radians. Les programmes officiels de premiere et terminale, ainsi que toutes les formules de derivation et d'integration, utilisent les radians. La conversion se fait avec radians = degres x pi/180. Verifiez toujours le mode de votre calculatrice avant d'evaluer sin, cos ou tan.

Les identites essentielles du programme francais sont l'identite de Pythagore sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1, la relation tan(theta) = sin(theta)/cos(theta), les formules d'addition cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b) et sin(a+b) = sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b), ainsi que les formules de duplication cos(2.theta) = cos^2(theta) - sin^2(theta) et sin(2.theta) = 2.sin(theta).cos(theta). Ces relations permettent de simplifier des expressions et d'etudier les fonctions sinus et cosinus en terminale.

Les fonctions arcsin, arccos et arctan, parfois notees sin^-1, cos^-1 et tan^-1, sont les fonctions reciproques de sinus, cosinus et tangente sur des intervalles restreints. Elles renvoient l'angle qui produit un rapport donne. Par exemple, arcsin(0,5) = 30 deg car sin(30 deg) = 0,5. Pour rester des fonctions, arcsin et arctan ont leurs valeurs dans [-90 deg, 90 deg] et arccos dans [0 deg, 180 deg].

Pour un triangle non rectangle, on utilise la loi des sinus a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) lorsque l'on connait deux angles et un cote, ou deux cotes et un angle non compris. On utilise la loi des cosinus c^2 = a^2 + b^2 - 2.a.b.cos(C) lorsque l'on connait les trois cotes ou deux cotes et l'angle compris entre eux. Ces deux relations couvrent tous les cas du programme de premiere generale francais.

Par definition tan(theta) = sin(theta)/cos(theta). Pour theta = 90 deg on a sin(90 deg) = 1 et cos(90 deg) = 0, ce qui conduit a une division par zero. La tangente n'est donc pas definie en 90 deg, 270 deg et plus generalement en pi/2 + k.pi pour k entier. La courbe representative de la fonction tangente presente des asymptotes verticales en ces valeurs.

Les programmes de seconde et premiere insistent sur les valeurs exactes pour 0, pi/6, pi/4, pi/3 et pi/2. On retient sin(pi/6) = 1/2, cos(pi/6) = racine(3)/2, sin(pi/4) = cos(pi/4) = racine(2)/2, sin(pi/3) = racine(3)/2, cos(pi/3) = 1/2, sin(pi/2) = 1 et cos(pi/2) = 0. La tangente s'en deduit, avec tan(pi/4) = 1 et tan(pi/2) non definie. Ces valeurs reviennent constamment dans les exercices de geometrie, de physique et d'analyse.