Vind de ontbrekende zijde van elke rechthoekige driehoek met a² + b² = c²
De stelling van Pythagoras stelt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hypotenusa (de zijde tegenover de rechte hoek van 90°) gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden. In formulevorm: a² + b² = c², waarbij c altijd de hypotenusa voorstelt en a en b de twee rechthoekszijden zijn.
De stelling is genoemd naar de Griekse wiskundige Pythagoras (ca. 570-495 v.Chr.), maar het verband was al eeuwen eerder bekend bij Babyloniërs en Indiërs. In het Nederlandse wiskundeonderwijs op havo en vwo (referentiekader rekenen-wiskunde en de examenprogramma's wiskunde A, B en C, vastgesteld door SLO en getoetst door het CvTE) is de stelling vaste leerstof in de onderbouw.
De stelling werkt uitsluitend voor rechthoekige driehoeken. Voor willekeurige driehoeken gebruik je de cosinusregel c² = a² + b² − 2ab·cos(C), die de stelling van Pythagoras als bijzonder geval bevat wanneer C = 90° en cos(C) = 0.
De langste zijde, recht tegenover de rechte hoek. Altijd de zijde die je vindt met √(a² + b²).
De twee zijden die samen de rechte hoek vormen. Onderling verwisselbaar in de formule.
De hoek van 90° tussen de twee rechthoekszijden. Wordt op tekeningen gemarkeerd met een klein vierkantje.
Voor een rechthoekige driehoek geldt: oppervlakte = ½ × a × b.
Pythagoreïsche tripletten (of Pythagoras-drietallen) zijn sets van drie gehele getallen die voldoen aan a² + b² = c². Ze zijn handig om snel rechte hoeken te herkennen en te controleren, bijvoorbeeld in tekenwerk op school of in de bouw:
| a | b | c | Veelvouden |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 |
| 5 | 12 | 13 | 10-24-26, 15-36-39 |
| 8 | 15 | 17 | 16-30-34 |
| 7 | 24 | 25 | 14-48-50 |
| 20 | 21 | 29 | 40-42-58 |
| 9 | 40 | 41 | 18-80-82 |
De omgekeerde stelling van Pythagoras zegt: als voor de drie zijden van een driehoek geldt dat a² + b² = c² (met c de langste zijde), dan is de driehoek rechthoekig en ligt de rechte hoek tegenover c. Dit is het standaardcriterium dat in vmbo-, havo- en vwo-wiskunde wordt gebruikt om aan te tonen dat een hoek precies 90° is.
Voorbeeld: een driehoek met zijden 9, 12 en 15 cm. Controleer: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 en 15² = 225. De gelijkheid klopt, dus de driehoek is rechthoekig met de rechte hoek tegenover de zijde van 15 cm. Geldt de gelijkheid niet, dan is er geen rechte hoek aanwezig.
Vakmensen controleren of een hoek haaks is met de 3-4-5-methode: meet 3 m langs de ene muur en 4 m langs de andere; is de diagonaal precies 5 m, dan is de hoek 90°. Bij grotere projecten worden vaak veelvouden gebruikt zoals 6-8-10 of 9-12-15.
Op een platte kaart (of in een lokaal coördinatenstelsel zoals het Nederlandse Rijksdriehoekstelsel) bereken je de hemelsbrede afstand met d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. Loop je 3 km oost en 4 km noord, dan ben je hemelsbreed 5 km van je startpunt.
Voor een veilige opstelling van een ladder (richtlijnen Arbouw en ladder-richtlijn EN 131) is de relatie tussen hoogte, afstand tot de muur en ladderlengte direct met Pythagoras te berekenen: c² = a² + b².
Tv- en monitorformaten worden diagonaal opgegeven. Voor een 16:9-scherm van 100 cm breed en 56,25 cm hoog is de diagonaal √(100² + 56,25²) ≈ 114,7 cm (ongeveer 45 inch).
De stelling van Pythagoras is in Nederland verplichte leerstof in de onderbouw van vmbo, havo en vwo, en keert in alle havo/vwo-examenprogramma's wiskunde A, B en C terug als bouwsteen voor afstands- en vectorberekeningen. Het examenprogramma en de bijbehorende eindtermen worden vastgesteld door SLO (Stichting Leerplanontwikkeling) in opdracht van het Ministerie van OCW en getoetst door het College voor Toetsen en Examens (CvTE) via centrale examens van het examenblad havo/vwo.
In het hoger onderwijs (universitair en hbo) wordt de stelling uitgebreid naar n dimensies. De afstandsformule in ℝⁿ luidt d = √(Σ(xᵢ − yᵢ)²) en is een directe veralgemening van Pythagoras. Deze veralgemening is de basis voor lineaire algebra, mechanica en data-analyse zoals onderwezen aan onder andere het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden.
Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van 3 en 4 cm. Bereken de lengte van de hypotenusa.
Resultaatc = 5 cm
Pas a² + b² = c² toe. Bereken 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Neem de wortel: c = √25 = 5. Dit is het kleinste primitieve Pythagorische drietal. Dezelfde verhouding schaalt naar elke maatvoering: een rechthoek van 6 × 8 m heeft een diagonaal van 10 m, een tegel van 9 × 12 cm een diagonaal van 15 cm.
Een rechthoekige driehoek heeft hypotenusa c = 13 m en rechthoekszijde a = 5 m. Bereken zijde b.
Resultaatb = 12 m
Herschrijf de formule naar b: b = √(c² − a²). Bereken 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Neem de wortel: b = √144 = 12. De driehoek (5, 12, 13) is het tweede klassieke primitieve drietal en wordt op het havo/vwo-examen vaak herkend om snel uit te rekenen.
Een aannemer meet bij een fundering zijden van 8 m, 15 m en 17 m. Is de hoek tegenover de langste zijde haaks?
ResultaatJa: 8² + 15² = 17², dus de hoek is precies 90°.
Pas de omgekeerde stelling toe. Bereken 8² + 15² = 64 + 225 = 289 en 17² = 289. De gelijkheid klopt, dus de driehoek is rechthoekig. (8, 15, 17) is bovendien een primitief Pythagorisch drietal. Dit is dezelfde controle die metsel- en betonploegen op de bouwplaats gebruiken wanneer een rechte hoek met een rolmaat moet worden gegarandeerd.
De omgekeerde stelling stelt dat een driehoek met zijden a, b en c (met c de langste zijde) rechthoekig is als en slechts als a² + b² = c². Dit is het criterium dat in het havo/vwo-examenprogramma wiskunde wordt gebruikt om aan te tonen dat een driehoek een hoek van 90° bevat. Klopt de gelijkheid niet, dan is de driehoek niet rechthoekig: bij a² + b² > c² is de hoek tegenover c scherp, bij a² + b² < c² is hij stomp.
Meet vanuit het hoekpunt 3 m langs de ene zijde en 4 m langs de andere en zet streepjes. Meet vervolgens de diagonaal tussen de twee streepjes. Is die exact 5 m, dan is de hoek 90°. Voor grotere precisie of grotere oppervlakken gebruik je veelvouden zoals 6-8-10, 9-12-15 of 12-16-20. Het is dezelfde controle die door aannemers en doe-het-zelvers wordt toegepast bij funderingen, terrassen en houtskeletbouw.
Ja. Voor de ruimtediagonaal van een rechthoekig blok met ribben a, b en c geldt d = √(a² + b² + c²). Het is een directe uitbreiding van de tweedimensionale stelling: eerst Pythagoras op de grondvlak-diagonaal (√(a² + b²)), daarna nog eens Pythagoras met c als verticale ribbe. Voor een eenheidskubus (a = b = c = 1) is de ruimtediagonaal √3 ≈ 1,732. Deze veralgemening wordt veel gebruikt in technische opleidingen aan tu's en hbo, en is de basis voor de Euclidische afstandsformule in ℝⁿ.
Nee. De stelling geldt uitsluitend in de Euclidische (vlakke) meetkunde. Op een bol — bijvoorbeeld het aardoppervlak — werk je met sferische meetkunde en geldt de stelling niet meer in de oorspronkelijke vorm; daar gebruik je formules zoals de haversineformule om grootcirkelafstanden te berekenen. In de hyperbolische meetkunde (Lobatsjevski) geldt cosh(c) = cosh(a)·cosh(b) als hyperbolisch analogon. Voor alledaagse vlakke driehoeken op papier of in een gewone bouwtekening blijft de klassieke Pythagoras correct.
In elke rechthoekige driehoek geldt sin(θ) = overstaande zijde / hypotenusa en cos(θ) = aanliggende zijde / hypotenusa. Kwadrateren en optellen geeft sin²(θ) + cos²(θ) = (a² + b²)/c² = 1, de fundamentele goniometrische identiteit. Deze identiteit ligt aan de basis van de eenheidscirkel en wordt op havo/vwo wiskunde B uitgebreid behandeld. Daarmee is de stelling van Pythagoras ook de meetkundige onderbouwing van de hele driehoeksmeting.
De vier belangrijkste primitieve drietallen zijn (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) en (7, 24, 25). Elk veelvoud is ook een drietal: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26) en (15, 36, 39) verschijnen vaak in opgaven. Door deze drietallen te herkennen kun je op het centraal eindexamen wiskunde (CvTE/examenblad havo/vwo) tijd winnen en wortelberekeningen zonder rekenmachine controleren.
Deze calculator past de klassieke stelling van Pythagoras (a² + b² = c²) toe op rechthoekige driehoeken in het vlak. Afhankelijk van de invoer wordt de ontbrekende zijde berekend als c = √(a² + b²) of als a = √(c² − b²); aanvullend worden oppervlakte (½·a·b) en omtrek (a + b + c) afgeleid. De inhoud volgt de eindtermen wiskunde voor havo en vwo zoals vastgesteld door SLO en getoetst door het CvTE via het examenblad havo/vwo, en is herzien op 16 mei 2026.
Vind je deze calculator handig? Deel hem:
