Trouvez le cote manquant de tout triangle rectangle en utilisant a2 + b2 = c2
Le theoreme de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carre de l'hypotenuse (le cote oppose a l'angle droit) est egal a la somme des carres des deux autres cotes. Exprime par a2 + b2 = c2, c'est l'une des relations les plus fondamentales en mathematiques.
Nomme d'apres le mathematicien grec antique Pythagore (env. 570-495 av. J.-C.), bien que la relation etait connue des Babyloniens et des Indiens des siecles plus tot. Le theoreme ne s'applique qu'aux triangles rectangles, ceux ayant un angle de 90 degres.
Ce theoreme est le fondement des calculs de distance, de la mesure des diagonales en construction au calcul des distances en geometrie des coordonnees. Il est essentiel en trigonometrie, physique, ingenierie, navigation et infographie.
Le plus long cote, oppose a l'angle droit. Toujours le cote que vous trouvez avec racine(a2 + b2).
Les deux cotes qui forment l'angle droit. Interchangeables dans la formule.
L'angle de 90 degres forme entre les deux cathetes. Marque par un petit carre.
Aire = 1/2 x a x b pour un triangle rectangle.
Les triplets pythagoriciens sont des ensembles de trois entiers qui satisfont a2 + b2 = c2 :
| a | b | c | Multiples |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 |
| 5 | 12 | 13 | 10-24-26, 15-36-39 |
| 8 | 15 | 17 | 16-30-34 |
| 7 | 24 | 25 | 14-48-50 |
| 20 | 21 | 29 | 40-42-58 |
| 9 | 40 | 41 | 18-80-82 |
Verifiez si les angles sont droits avec la regle du 3-4-5. Mesurez 3 metres d'un cote, 4 metres de l'autre - la diagonale devrait etre exactement 5 metres pour un angle droit.
Calculez la distance en ligne droite entre deux points. Si vous allez 3 km a l'est et 4 km au nord, vous etes a 5 km de votre point de depart.
Determinez le placement sur d'une echelle. Une echelle de 7,5 m placee a 2 m du mur atteint environ 7,2 m de hauteur.
Les tailles de TV et moniteur sont mesurees en diagonale. Un ecran 16:9 de 100 cm de large et 56 cm de haut fait environ 115 cm de diagonale.
Vous pouvez toujours trouver le troisieme cote. Si vous connaissez les deux cathetes, utilisez c = racine(a2 + b2). Si vous connaissez l'hypotenuse et une cathete, utilisez a = racine(c2 - b2). L'hypotenuse doit toujours etre le plus long cote.
Non, le theoreme de Pythagore ne fonctionne que pour les triangles rectangles. Pour les autres triangles, utilisez la loi des cosinus : c2 = a2 + b2 - 2ab x cos(C).
Utilisez d = racine[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]. C'est le theoreme de Pythagore applique aux distances horizontale et verticale entre les points.
En 3D, la diagonale d'un pave est d = racine(a2 + b2 + c2), ou a, b, c sont les trois dimensions. C'est une extension du theoreme 2D.
Un triangle rectangle a deux cathetes de 3 et 4 unites. Trouvez la longueur de l'hypotenuse.
Résultatc = 5
On applique a2 + b2 = c2. On calcule 32 + 42 = 9 + 16 = 25. On prend la racine carree : c = racine(25) = 5. C'est le plus petit triplet pythagoricien primitif. La meme proportion s'adapte a tout mur, ecran ou trace ou un cote mesure 6 m et l'autre 8 m : la diagonale vaudra alors 10 m, ce qui sert sur le terrain a verifier qu'un angle est bien droit.
Dans un triangle rectangle, le carre de la longueur de l'hypotenuse est egal a la somme des carres des longueurs des deux autres cotes. Si ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2, ou BC est l'hypotenuse. Cet enonce est introduit en classe de 4eme dans les programmes d'Eduscol et reste valable a vie pour tout triangle ayant un angle droit.
Le theoreme direct part d'un triangle rectangle connu pour calculer une longueur. La reciproque part de trois longueurs : si BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A. On utilise donc le theoreme direct pour trouver un cote manquant, et la reciproque pour prouver qu'un angle est droit a partir de mesures.
La contraposee s'enonce ainsi : si BC2 n'est pas egal a AB2 + AC2, alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A. Elle sert a demontrer qu'un triangle n'a pas d'angle droit, par exemple lorsqu'on suspecte qu'une piece de charpente est legerement de travers. C'est l'outil de preuve negative qui complete la reciproque.
Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels (a, b, c) qui verifie a2 + b2 = c2. Les plus connus sont 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 et 7-24-25. Tout multiple d'un triplet en est aussi un (6-8-10, 9-12-15, etc.). Les artisans utilisent le triplet 3-4-5 pour tracer un angle droit sans equerre, simplement avec un metre ruban.
Le theoreme direct est introduit en classe de 4eme dans les programmes du cycle 4 publies par Eduscol. La reciproque et la contraposee sont travaillees en 4eme et consolidees en 3eme, en lien avec le calcul de distances dans un repere orthonorme et avec la trigonometrie du triangle rectangle (cosinus, puis sinus et tangente).
Pour verifier qu'un mur est bien d'equerre par rapport a un autre, on applique la regle des 3-4-5 : on mesure 3 m sur un mur, 4 m sur l'autre, puis la diagonale entre les deux reperes. Si elle vaut exactement 5 m, l'angle est droit. Les macons, charpentiers et carreleurs utilisent cette methode depuis l'Antiquite pour aligner fondations, dallages et cloisons sans materiel sophistique.
En topographie, on calcule la distance en ligne droite entre deux points connus par leurs coordonnees (x, y) avec d = racine[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]. C'est le theoreme de Pythagore applique au plan cartographique. Les leves de terrain, le bornage de parcelles et le calcul de denivelees combines a une distance horizontale reposent tous sur cette formule.
Oui. Pour un pave droit de dimensions a, b, c, la grande diagonale vaut d = racine(a2 + b2 + c2). On l'obtient en appliquant le theoreme deux fois : une fois dans la base pour la diagonale du rectangle, puis une seconde fois avec la hauteur. Cette extension sert en infographie 3D, en architecture et pour calculer la distance entre deux points dans un repere de l'espace.
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