Satz des Pythagoras Rechner
Finden Sie die fehlende Seite eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks mit a² + b² = c²
Satz des Pythagoras
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist. Ausgedrückt als a² + b² = c², ist er eine der grundlegendsten Beziehungen in der Mathematik.
Er ist nach dem antiken griechischen Mathematiker Pythagoras (um 570–495 v. Chr.) benannt, obwohl die Beziehung den Babyloniern und Indern Jahrhunderte früher bekannt war. Der Satz gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke – Dreiecke mit einem 90°-Winkel.
Dieser Satz ist die Grundlage für Abstandsberechnungen, vom Messen von Diagonalen im Bauwesen bis zur Berechnung von Abständen in der Koordinatengeometrie. Er ist unverzichtbar in der Trigonometrie, Physik, Ingenieurwissenschaft, Navigation und Computergrafik.
Die Bestandteile des Dreiecks verstehen
Hypotenuse (c)
Die längste Seite, dem rechten Winkel gegenüberliegend. Stets die Seite, die mit √(a² + b²) berechnet wird.
Katheten (a und b)
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. In der Formel austauschbar.
Rechter Winkel
Der 90°-Winkel zwischen den beiden Katheten. Durch ein kleines Quadrat gekennzeichnet.
Fläche
Fläche = ½ × a × b für ein rechtwinkliges Dreieck.
Häufige pythagoreische Tripel
Pythagoreische Tripel sind Mengen von drei ganzen Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen:
| a | b | c | Vielfache |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 |
| 5 | 12 | 13 | 10-24-26, 15-36-39 |
| 8 | 15 | 17 | 16-30-34 |
| 7 | 24 | 25 | 14-48-50 |
| 20 | 21 | 29 | 40-42-58 |
| 9 | 40 | 41 | 18-80-82 |
Anwendungen in der Praxis
Bauwesen
Rechte Winkel mit der 3-4-5-Regel prüfen. Messen Sie 3 Fuß auf einer Seite, 4 Fuß auf der anderen – die Diagonale sollte genau 5 Fuß betragen, um einen rechten Winkel zu erhalten.
Navigation
Luftlinienabstand zwischen zwei Punkten berechnen. Wenn Sie 3 Meilen nach Osten und 4 Meilen nach Norden gehen, sind Sie 5 Meilen von Ihrem Ausgangspunkt entfernt.
Leitersicherheit
Sichere Leiterplatzierung bestimmen. Eine 25 Fuß lange Leiter, die 7 Fuß von der Wand entfernt steht, reicht 24 Fuß hoch (7² + 24² = 25²).
Bildschirmgröße
Fernseher und Monitore werden diagonal gemessen. Ein 16:9-Display mit 40" Breite und 22,5" Höhe hat eine Diagonale von etwa 46".
Häufig gestellte Fragen
Was, wenn mir nur zwei Seiten bekannt sind?
Die dritte Seite lässt sich immer berechnen. Kennen Sie die beiden Katheten, verwenden Sie c = √(a² + b²). Kennen Sie die Hypotenuse und eine Kathete, verwenden Sie a = √(c² - b²). Die Hypotenuse muss stets die längste Seite sein.
Funktioniert der Satz auch bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken?
Nein, der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Für andere Dreiecke verwenden Sie den Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab·cos(C).
Wie berechne ich den Abstand zwischen zwei Punkten?
Verwenden Sie d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]. Dies ist der Satz des Pythagoras, angewendet auf die horizontalen und vertikalen Abstände zwischen den Punkten.
Gibt es eine 3D-Version?
In 3D lautet die Raumdiagonale eines Quaders d = √(a² + b² + c²), wobei a, b, c die drei Abmessungen sind. Es handelt sich um eine Erweiterung des 2D-Satzes.
Profi-Tipps
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