Uma permutação é um arranjo ordenado e uma combinação é uma selecção não ordenada. Se tirar três cartas de um baralho e importar saber qual saiu em primeiro, segundo e terceiro lugar, está a contar permutações — ás-rei-dama e dama-rei-ás são diferentes. Se apenas interessar quais as três cartas que ficou a segurar, está a contar combinações — essas duas extracções dão a mesma mão. Formalmente, o número de permutações de k elementos de n é P(n, k) = n! / (n − k)!, e o número de combinações é C(n, k) = n! / (k!(n − k)!). As duas fórmulas diferem pelo k! que conta as ordenações de cada subconjunto escolhido, pelo que P(n, k) é sempre k! vezes maior do que C(n, k). Esta distinção é central no programa de Matemática A do 12.º ano homologado pela DGE.

Pergunte-se se trocar dois dos elementos escolhidos produz um resultado diferente que o problema considera distinto. Se sim, use permutações; se não, use combinações. As posições finais numa corrida (ouro, prata, bronze) são permutações porque as medalhas são distintas. Uma comissão de três pessoas é uma combinação porque a comissão tem os mesmos membros independentemente da ordem em que foram nomeados. As palavras-passe e os PIN são permutações porque 1234 e 4321 desbloqueiam contas diferentes. Os números do Totoloto e do Euromilhões são combinações porque o boletim premia independentemente de os ter escrito por ordem crescente ou trocada. Na dúvida, liste um caso pequeno à mão e verifique se a sua contagem coincide com a fórmula.

Os jogos da Santa Casa da Misericórdia de Lisboa são problemas puros de combinações, pois a ordem dos números sorteados não importa. No Euromilhões, escolhem-se 5 números de 50 mais 2 estrelas de 12, dando uma probabilidade de jackpot de 1 / (C(50,5) × C(12,2)) = 1 / (2 118 760 × 66) ≈ 1 em 139,8 milhões. No Totoloto, escolhem-se 5 números de 49 mais 1 número da sorte de 13, com probabilidade de primeiro prémio de 1 / (C(49,5) × 13) = 1 / (1 906 884 × 13) ≈ 1 em 24,8 milhões. Notas práticas: comprar vários boletins só ajuda linearmente (10 boletins do Euromilhões ainda são cerca de 1 em 14 milhões), e o valor esperado de uma aposta é quase sempre negativo depois de considerada a tributação do IRS (art. 9.º do CIRS) sobre prémios superiores a 5 000 €.

O factorial n! = n × (n − 1) × ... × 1 conta o número de formas de ordenar n elementos distintos em fila, sendo o bloco de construção das permutações e combinações. Os factoriais crescem extremamente depressa — 10! já é 3 628 800, 20! ultrapassa 2,4 × 10¹⁸ e 70! transborda um valor de vírgula flutuante de precisão dupla de 64 bits. Por isso, as calculadoras devem simplificar factores comuns antes de multiplicar. Para C(100, 3), calcular 100! / (3! × 97!) directamente é desperdício, mas reescrever como (100 × 99 × 98) / (3 × 2 × 1) = 161 700 é rápido e exacto. Esta técnica de simplificação é ensinada no programa de Matemática A do 12.º ano e aparece com frequência nos Exames Nacionais do IAVE.

Sem reposição, cada elemento pode ser escolhido no máximo uma vez, sendo este o caso padrão das fórmulas P(n, k) e C(n, k). Com reposição, o mesmo elemento pode ser escolhido várias vezes, o que aumenta as contagens. As permutações com reposição são simplesmente n^k, pois cada uma das k posições tem todas as n opções disponíveis. As combinações com reposição usam a fórmula "estrelas e barras" C(n + k − 1, k), que conta multiconjuntos — por exemplo, o número de formas de escolher 3 bolas de 5 sabores de gelado quando há repetição é C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) = 35. Pistas reais: tirar cartas sem voltar a colocá-las é sem reposição; lançar o mesmo dado k vezes é com reposição.

Tanto n como k devem ser inteiros não negativos, e k deve ser menor ou igual a n para as fórmulas padrão (sem reposição). Os casos limite são bem definidos e vale a pena recordar: C(n, 0) = 1 porque há exactamente uma forma de não escolher nada (conjunto vazio), C(n, n) = 1 porque há uma forma de escolher tudo, P(n, 0) = 1 por convenção, e 0! = 1 para que as fórmulas se mantenham consistentes. Se o seu problema produz um n não inteiro, um k negativo ou k > n, a contagem padrão é indefinida ou zero, e deve reexaminar se o problema requer outro modelo, como multinomiais, permutações com repetição ou combinações com reposição. Estas convenções estão explicitadas no manual de Matemática A do 12.º ano homologado pela DGE.

O triângulo de Pascal é uma tabela de consulta literal das combinações: a entrada na linha n, posição k (indexada a partir de zero), é igual a C(n, k). A linha 5 lê-se 1, 5, 10, 10, 5, 1, que são exactamente C(5, 0) a C(5, 5). A regra de construção do triângulo — cada entrada é a soma das duas entradas acima — é a identidade combinatória C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k), com prova limpa: um subconjunto escolhido de tamanho k de n inclui o n-ésimo elemento (escolhem-se os restantes k − 1 dos primeiros n − 1) ou exclui-o (escolhem-se todos os k dos primeiros n − 1). O triângulo também codifica o teorema do binómio de Newton, dado que as entradas da linha n são os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)^n, conteúdo abordado no 12.º ano em Portugal.

Use um coeficiente multinomial quando estiver a repartir n elementos em mais de dois grupos distinguíveis de tamanhos fixos. A fórmula n! / (k₁! × k₂! × ... × kₘ!) conta o número de formas de dividir n elementos distintos em grupos de tamanhos k₁, k₂, ..., kₘ, onde os tamanhos dos grupos devem somar n. Por exemplo, distribuir um baralho de 52 cartas por quatro mãos de 13 cartas é 52! / (13!)⁴ ≈ 5,36 × 10²⁸. O binomial C(n, k) é o caso especial de dois grupos, com tamanhos k e n − k. Os multinomiais também contam o número de reorganizações distintas de uma palavra com letras repetidas — MATEMÁTICA (ignorando o acento) tem 10! / (3! × 2! × 2!) reorganizações distintas, e o exemplo clássico MISSISSIPPI tem 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 34 650.