Una permutazione e una disposizione ordinata, mentre una combinazione e una selezione non ordinata. Se estrai tre carte da un mazzo e ti interessa quale e uscita per prima, seconda e terza, stai contando permutazioni: asso-re-donna e donna-re-asso sono esiti distinti. Se invece ti interessa solo quali tre carte hai in mano, stai contando combinazioni e le due estrazioni producono la stessa mano. Formalmente, il numero di permutazioni di k elementi da n vale P(n, k) = n! / (n - k)!, mentre il numero di combinazioni vale C(n, k) = n! / (k!(n - k)!). Le due formule differiscono per il fattore k! che conta gli ordinamenti di ciascun sottoinsieme scelto, quindi P(n, k) e sempre k! volte piu grande di C(n, k). Nei programmi di matematica delle scuole superiori italiane queste definizioni sono introdotte tipicamente al quarto anno nell'ambito del calcolo combinatorio e della probabilita.

Si parte sempre chiedendosi se l'ordine dei k elementi scelti modifica il risultato del problema. Se la risposta e si, si usa P(n, k) = n! / (n - k)!. Esempi: il podio di una gara (oro, argento, bronzo da 8 atleti) vale P(8, 3) = 336; il numero di password di 4 cifre diverse fra 10 vale P(10, 4) = 5.040. Se la risposta e no, si usa C(n, k) = n! / (k!(n - k)!). Esempi: una commissione di 3 persone scelte fra 15 vale C(15, 3) = 455; le mani di 5 carte da un mazzo di 52 valgono C(52, 5) = 2.598.960. Trucco pratico per il calcolo manuale: nella combinazione conviene semplificare prima di moltiplicare, ad esempio C(20, 3) = (20 × 19 × 18) / (3 × 2 × 1) = 6.840 / 6 = 1.140, evitando di calcolare 20! per intero.

Le Indicazioni nazionali e le Linee guida del MIM per i licei e gli istituti tecnici inseriscono il calcolo combinatorio nell'asse matematico del secondo biennio, all'interno del nucleo Dati e previsioni. Gli studenti devono saper distinguere disposizioni, permutazioni e combinazioni (semplici e con ripetizione), calcolare coefficienti binomiali e applicarli al calcolo delle probabilita classiche, anche tramite il triangolo di Tartaglia. Nei licei scientifici il tema viene ripreso nel quinto anno in preparazione alla seconda prova di matematica dell'esame di Stato, dove problemi di combinatoria e probabilita compaiono periodicamente. Il riferimento normativo principale e il DM 211/2010 (licei) e i decreti del riordino tecnico-professionale, consultabili sul portale ufficiale Eduscol-equivalente italiano gestito dal MIM.

Si, ma in forma applicata piuttosto che astratta. L'INVALSI (Istituto nazionale per la valutazione del sistema educativo di istruzione e di formazione) include nei Quadri di riferimento di matematica per la classe quinta della scuola secondaria di secondo grado l'ambito Dati e previsioni, dentro cui ricadono problemi di conteggio ed eventi elementari. Tipicamente le prove non richiedono di applicare formalmente C(n, k) o P(n, k), ma chiedono di contare esiti favorevoli e totali in situazioni concrete (estrazioni, classifiche, schede di gioco) e di calcolare la probabilita corrispondente. Saper riconoscere quando l'ordine conta e quando no e quindi una competenza chiave per affrontare con sicurezza i quesiti combinatori INVALSI, e una buona pratica per gli studenti e verificare i conteggi con un calcolatore come questo prima di confrontare il risultato con la formula.

Lotto e SuperEnalotto sono giochi di pura combinazione gestiti da concessionari sotto controllo ADM (Agenzia delle Dogane e dei Monopoli). Al Lotto su una singola ruota la probabilita di un ambo secco e 1 / C(90, 2) × C(5, 2) / 1 = 1 / 400,5 circa, mentre un terno secco vale circa 1 / 11.748. Al SuperEnalotto la probabilita del 6 (centrare tutti i sei numeri estratti su 90) e 1 / C(90, 6) = 1 / 622.614.630, ovvero circa 1 su 622 milioni; il 5+1 (Jolly) ha probabilita 1 / 103.769.105, il 5 vale 1 / 1.250.230, il 4 vale 1 / 11.907 e il 3 vale 1 / 327. Questi numeri sono pubblicati ufficialmente da Sisal e validati dalle pubblicazioni ADM. Conclusione pratica: il valore atteso di una giocata e quasi sempre negativo dopo prelievo erariale e quota del concessionario, quindi la combinatoria conferma matematicamente il principio del gioco responsabile promosso da ADM.

Senza ripetizione ogni elemento puo essere scelto al massimo una volta, come nelle formule classiche P(n, k) e C(n, k). Con ripetizione lo stesso elemento puo essere scelto piu volte. Le disposizioni con ripetizione di k elementi presi da n valgono semplicemente n^k, perche ognuna delle k posizioni dispone di tutte le n opzioni: ad esempio un PIN di 4 cifre da 0 a 9 ha 10^4 = 10.000 combinazioni possibili. Le combinazioni con ripetizione si contano con la formula C(n + k - 1, k), che equivale al problema dei multinsiemi: il numero di modi di scegliere 3 gusti di gelato fra 5 disponibili ammettendo ripetizioni vale C(5 + 3 - 1, 3) = C(7, 3) = 35. Indizi pratici: estrarre carte senza rimetterle nel mazzo e senza ripetizione, lanciare un dado k volte e con ripetizione.

Il fattoriale n! = n × (n - 1) × ... × 1 conta il numero di modi di disporre n elementi distinti in fila, ed e il mattone base sia delle permutazioni sia delle combinazioni. I fattoriali crescono in modo esplosivo: 10! e gia 3.628.800, 20! supera 2,4 × 10^18 e 70! eccede la capacita di un numero a virgola mobile a 64 bit. Per questo i calcolatori e i fogli di calcolo (anche le funzioni FATTORIALE e COMBINAZIONE di Excel italiano) semplificano i fattori comuni prima di moltiplicare. Per C(100, 3) valutare 100! / (3! × 97!) direttamente sarebbe inefficiente, ma riscriverlo come (100 × 99 × 98) / (3 × 2 × 1) = 161.700 e rapido ed esatto. La maggior parte degli strumenti ben progettati usa internamente questa cancellazione o i logaritmi dei fattoriali per evitare l'overflow.

Sia n sia k devono essere interi non negativi e k deve essere minore o uguale a n nelle formule standard senza ripetizione. I casi limite sono ben definiti e vale la pena ricordarli: C(n, 0) = 1 perche esiste esattamente un modo di non scegliere nulla (l'insieme vuoto), C(n, n) = 1 perche c'e un solo modo di sceglierli tutti, P(n, 0) = 1 per convenzione e 0! = 1 per coerenza con la definizione ricorsiva del fattoriale. Se un problema produce un n non intero, un k negativo o k > n, la formula standard restituisce un valore non definito o pari a zero, e occorre rivedere il modello: forse il problema richiede un coefficiente multinomiale, le permutazioni di un multinsieme oppure le combinazioni con ripetizione. Una buona pratica didattica, raccomandata nelle prove INVALSI, e verificare sempre il senso del risultato confrontandolo con un caso piccolo enumerato a mano.