¿Cuál es la diferencia exacta entre una combinación y una permutación?
Una permutación es un arreglo ordenado y una combinación es una selección sin orden. Si extraes tres cartas de una baraja y te importa cuál salió primera, segunda y tercera, estás contando permutaciones: as-rey-dama y dama-rey-as son distintas. Si sólo te importa qué tres cartas tienes en la mano, son combinaciones y ambas extracciones producen la misma jugada. Las fórmulas son P(n, k) = n! / (n − k)! para permutaciones y C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) para combinaciones. La diferencia es justo el factor k!, que cuenta las formas de ordenar cada subconjunto elegido, por lo que P(n, k) siempre es k! veces mayor que C(n, k).
¿Cómo sé si debo usar combinaciones o permutaciones en mi problema?
Pregúntate si intercambiar dos elementos elegidos produce un resultado que el problema considera distinto. Si sí, usa permutaciones; si no, usa combinaciones. Las posiciones del podio (oro, plata, bronce) son permutaciones, porque las medallas son diferentes. Un comité de tres personas es una combinación, porque el comité tiene los mismos miembros independientemente del orden en que los nombres. Las contraseñas y los PIN son permutaciones, porque 1234 y 4321 abren cuentas distintas. Los números de La Primitiva o el Euromillones son combinaciones: el boleto premia tanto si escribiste los números en orden ascendente como si los apuntaste desordenados.
¿Cuál es la probabilidad de acertar el pleno en La Primitiva y en el Euromillones?
En La Primitiva se eligen 6 números de 49 y, como el orden no cuenta, hay C(49, 6) = 13.983.816 combinaciones posibles, lo que da una probabilidad de 1 entre casi 14 millones de acertar los seis aciertos con un boleto sencillo. En el Euromillones se eligen 5 números de 50 y 2 estrellas de 12, de modo que el número total de combinaciones es C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160, es decir, aproximadamente 1 entre 140 millones para el primer premio. Comprar varios boletos sólo mejora las probabilidades de forma lineal: diez boletos sencillos de Euromillones dan unas probabilidades de 10 / 139.838.160, todavía cercanas a 1 entre 14 millones.
¿Qué cambia si la selección es con repetición en lugar de sin repetición?
Sin repetición cada elemento puede elegirse como máximo una vez, que es lo que asumen las fórmulas estándar C(n, k) y P(n, k). Con repetición el mismo elemento puede repetirse, lo que aumenta los conteos. Las permutaciones con repetición son simplemente n^k, porque cada una de las k posiciones tiene n opciones disponibles. Las combinaciones con repetición se calculan con la fórmula de barras y estrellas C(n + k − 1, k), que cuenta multiconjuntos: por ejemplo, las formas de elegir 3 bolas de helado entre 5 sabores permitiendo repetidos son C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) = 35. Una pista práctica: sacar cartas y no devolverlas es sin repetición, lanzar el mismo dado k veces es con repetición.
¿Qué es un factorial y por qué crecen tan rápido?
El factorial n! = n × (n − 1) × … × 1 cuenta de cuántas formas se pueden ordenar en fila n elementos distintos y es la pieza básica tanto de las permutaciones como de las combinaciones. Los factoriales crecen extremadamente rápido: 10! ya vale 3.628.800, 20! supera 2,4 × 10¹⁸ y 70! desborda un número de coma flotante de 64 bits. Por eso las calculadoras bien diseñadas cancelan factores comunes antes de multiplicar. Para C(100, 3), evaluar 100! / (3! × 97!) directamente es ineficiente, pero reescribirlo como (100 × 99 × 98) / (3 × 2 × 1) = 161.700 es rápido y exacto. Internamente, muchas herramientas de combinatoria utilizan esta cancelación o trabajan con logaritmos de factoriales.
¿Qué restricciones deben cumplir n y k?
Tanto n como k deben ser enteros no negativos y k debe ser menor o igual que n para las fórmulas estándar sin repetición. Los casos límite están bien definidos y conviene recordarlos: C(n, 0) = 1, porque hay exactamente una forma de no elegir nada (el conjunto vacío); C(n, n) = 1, porque sólo hay una forma de elegirlo todo; P(n, 0) = 1 por convención; y 0! = 1 para que las fórmulas sean consistentes. Si el problema produce un n no entero, un k negativo o k > n, el conteo estándar es cero o no está definido, y conviene revisar si el modelo correcto es otro, como multinomiales, permutaciones con elementos repetidos o combinaciones con repetición.
¿Qué relación tiene el triángulo de Pascal con las combinaciones?
El triángulo de Pascal es literalmente una tabla de valores de combinaciones: el elemento de la fila n y posición k (empezando en cero) es C(n, k). La fila 5 es 1, 5, 10, 10, 5, 1, que son exactamente C(5, 0) hasta C(5, 5). La regla del triángulo —cada número es la suma de los dos que tiene encima— corresponde a la identidad combinatoria C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k): un subconjunto de tamaño k de n elementos o bien contiene al n-ésimo elemento (y entonces hay que elegir los k − 1 restantes entre n − 1) o no lo contiene (y se eligen los k de los primeros n − 1). El triángulo también codifica el teorema del binomio, ya que los números de la fila n son los coeficientes de la expansión de (a + b)^n.
¿Cuándo conviene usar un coeficiente multinomial en lugar de uno binomial?
Conviene usar coeficientes multinomiales cuando se reparten n elementos entre más de dos grupos distinguibles con tamaños fijos. La fórmula n! / (k_1! × k_2! × … × k_m!) cuenta las formas de dividir n elementos distintos en grupos de tamaños k_1, k_2, …, k_m, donde los tamaños suman n. Por ejemplo, repartir una baraja de 52 cartas en cuatro manos de 13 cartas equivale a 52! / (13!)^4 ≈ 5,36 × 10²⁸ formas distintas. El coeficiente binomial C(n, k) es el caso particular con dos grupos de tamaños k y n − k. Los multinomiales también cuentan las reordenaciones de palabras con letras repetidas: MISSISSIPPI tiene 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 34.650 anagramas distintos.
