Le Indicazioni nazionali del Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM) per il nucleo 'Dati e previsioni' presentano tre approcci complementari. La definizione classica (Laplace) è P(A) = casi favorevoli / casi possibili, valida quando gli esiti elementari sono equiprobabili. La definizione frequentista stima P(A) come frequenza relativa f(A) = n_A / n al crescere del numero di prove n, in accordo con la legge dei grandi numeri. La definizione assiomatica (Kolmogorov) fissa gli assiomi: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1 e additività per eventi incompatibili. Nei quesiti INVALSI si usano soprattutto le prime due.

Uno schema (o prova) di Bernoulli è un singolo esperimento con solo due esiti possibili: successo con probabilità p e insuccesso con probabilità q = 1 − p. La distribuzione binomiale B(n; p) descrive invece il numero di successi X in n prove di Bernoulli indipendenti, tutte con la stessa p. La probabilità di ottenere esattamente k successi è P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k), con valore atteso E[X] = np e varianza Var[X] = np(1−p). Quando n = 1 la binomiale coincide con la singola prova di Bernoulli.

La distribuzione di Poisson modella il numero di eventi rari che si verificano in un intervallo di tempo, spazio o popolazione, quando il numero medio di eventi λ è noto. La sua legge è P(X = k) = (λ^k · e^−λ) / k!, con E[X] = Var[X] = λ. Si ottiene come limite della binomiale B(n; p) quando n è grande, p è piccola e il prodotto np = λ resta costante. Si usa per fenomeni come telefonate ricevute in un call center, decadimenti radioattivi, errori di stampa per pagina o arrivi di clienti in un servizio.

Il teorema di Bayes inverte una probabilità condizionata: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B). Esempio classico: un test diagnostico ha sensibilità 99% (P(test+ | malato) = 0,99) e specificità 95% (P(test− | sano) = 0,95). Se la prevalenza della malattia è P(M) = 0,01, la probabilità di essere realmente malati dato un test positivo è P(M | test+) = (0,99 · 0,01) / (0,99 · 0,01 + 0,05 · 0,99) ≈ 0,167, cioè solo il 16,7%. Il risultato sorprende perché si trascura la probabilità a priori: è il classico errore della 'base rate fallacy'.

La legge dei grandi numeri afferma che, all'aumentare del numero di prove indipendenti, la frequenza relativa di un evento converge verso la sua probabilità teorica. Se lanci una moneta equa molte volte, la frazione di teste tende a 0,5. Questo non significa che la moneta 'compensi' i risultati passati: ogni singolo lancio resta indipendente e con probabilità 0,5, indipendentemente da quanto è uscito prima. Credere il contrario è la fallacia del giocatore, esplicitamente trattata nei programmi di 'Dati e previsioni' del MIM.

Le Indicazioni nazionali per i licei e le Linee guida per gli istituti tecnici e professionali, emanate dal Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM), inseriscono la probabilità nel nucleo 'Dati e previsioni'. Nel primo biennio si introducono spazio campionario, eventi, probabilità classica, eventi composti e indipendenza. Nel secondo biennio e quinto anno si affrontano probabilità condizionata, formula di Bayes, variabili aleatorie discrete, schema di Bernoulli, distribuzione binomiale e cenni alla Poisson e alla normale. Le competenze sono allineate al quadro INVALSI.

Nelle prove INVALSI di matematica per la scuola secondaria di primo e secondo grado, l'ambito 'Dati e previsioni' include sempre quesiti di probabilità: calcolo di probabilità classica con dadi, monete e urne; lettura di tabelle a doppia entrata; eventi incompatibili e indipendenti; probabilità condizionata in contesti reali come test medici, controllo qualità o sondaggi. INVALSI Open pubblica le prove ufficiali e i quadri di riferimento, utili per esercitarsi: l'obiettivo è verificare la competenza nell'usare la probabilità per interpretare dati e prendere decisioni informate.

Si applica il principio di inclusione-esclusione: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). La sottrazione evita di contare due volte gli esiti che appartengono sia ad A sia a B. Se gli eventi sono incompatibili (mutuamente esclusivi), P(A ∩ B) = 0 e la formula si riduce a P(A) + P(B). Esempio: estraendo una carta da 52, P(asso ∪ cuori) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 ≈ 0,308, perché l'asso di cuori va contato una sola volta.