Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig: P(A und B) = P(A) × P(B). Zwei Münzwürfe oder zwei separate Würfelwürfe sind unabhängig. Abhängige Ereignisse verändern die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen – etwa beim Ziehen zweier Karten ohne Zurücklegen. Für abhängige Ereignisse gilt die Multiplikationsregel P(A und B) = P(A) × P(B|A), wobei die zweite Wahrscheinlichkeit vom ersten Ergebnis abhängt.

Beim deutschen Lotto 6 aus 49 gibt es C(49,6) = 13.983.816 mögliche Ziehungen. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige beträgt 1 / 13.983.816 ≈ 0,0000000715 oder rund 1 zu 14 Millionen. Auch mit Zusatzzahl bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit verschwindend gering – ein klassisches Beispiel für sehr kleine Wahrscheinlichkeiten in der Stochastik.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gibt an, wie wahrscheinlich Ereignis A ist, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist. Sie berechnet sich als P(A|B) = P(A und B) / P(B), sofern P(B) > 0. Durch die Bedingung B wird der Ergebnisraum auf jene Stichprobe reduziert, in der B eintritt, und gefragt, welcher Anteil davon auch A enthält.

Der Satz von Bayes kehrt eine bedingte Wahrscheinlichkeit um: P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B). Er ist nützlich, wenn man weiß, wie wahrscheinlich ein Beleg unter jeder Hypothese ist, aber die Hypothesenwahrscheinlichkeit nach Beobachtung des Belegs aktualisieren möchte. Anwendungen finden sich in medizinischer Diagnostik, Spam-Filtern und vielen Verfahren der statistischen Inferenz.

Mit dem Additionssatz: P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B). Der Abzug verhindert die Doppelzählung von Ergebnissen, die in A und B liegen. Schließen sich A und B gegenseitig aus, ist P(A und B) = 0, und die Formel vereinfacht sich zu P(A) + P(B).

Die Wahrscheinlichkeit ist der Anteil günstiger Ergebnisse an allen möglichen: p = günstig / gesamt, immer zwischen 0 und 1. Die Quote vergleicht günstige mit ungünstigen Ergebnissen als Verhältnis: Quote = p / (1 − p), oft als 1:3 geschrieben. Eine Wahrscheinlichkeit von 0,25 entspricht einer Quote von 1:3 – ein Treffer auf drei Fehlversuche.

Der Spielerfehlschluss unterstellt, dass vergangene unabhängige Ereignisse künftige beeinflussen (eine faire Münze ist nach mehreren Köpfen nicht „fällig" für Zahl). Der Basisraten-Trugschluss ignoriert Vorwahrscheinlichkeiten bei der Interpretation von Tests. Der Konjunktionseffekt schätzt P(A und B) größer als P(A). Und die Verwechslung von P(A|B) mit P(B|A) – der sogenannte Anklägerfehlschluss – führt zu schwerwiegenden Fehlinterpretationen in Medizin und Recht.