Une loi de probabilite decrit comment les valeurs d'une variable aleatoire se repartissent. Pour un evenement binaire (succes / echec) avec probabilite p, on utilise la loi de Bernoulli. Pour le nombre de succes sur n essais independants identiques, on utilise la loi binomiale B(n,p). Pour compter des evenements rares sur un intervalle (appels recus, defauts par metre), on utilise la loi de Poisson de parametre lambda. Pour une grandeur continue centree autour d'une moyenne, on utilise la loi normale N(mu, sigma).

Le theoreme de Bayes inverse une probabilite conditionnelle : P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B). On l'utilise quand on connait la probabilite des indices sous chaque hypothese mais qu'on cherche la probabilite de l'hypothese apres observation. Exemple medical : si un test detecte une maladie avec 99 pourcent de sensibilite mais que la maladie touche 1 personne sur 1000, un test positif ne donne pas 99 pourcent de chance d'etre malade. La probabilite reelle peut etre bien plus faible a cause du faible taux de base.

Deux evenements A et B sont independants si la realisation de l'un ne modifie pas la probabilite de l'autre. Mathematiquement : P(A inter B) = P(A) x P(B), ou de maniere equivalente P(A|B) = P(A). Les tirages avec remise sont independants, les tirages sans remise ne le sont pas. Attention : independants n'est pas synonyme d'incompatibles. Deux evenements incompatibles (P(A inter B) = 0) avec des probabilites non nulles ne sont jamais independants.

La probabilite conditionnelle P(A|B) est la probabilite de A sachant que B est realise. On la calcule par P(A|B) = P(A inter B) / P(B), a condition que P(B) soit strictement positif. Conditionner par B revient a restreindre l'univers aux issues ou B se produit, puis a calculer la proportion de ces issues qui contiennent aussi A. Au lycee, on utilise souvent un arbre pondere pour visualiser : la probabilite d'un chemin est le produit des probabilites des branches.

La probabilite part d'un modele connu (par exemple une piece equilibree) et en deduit la probabilite d'observations futures. La statistique fait l'inverse : a partir de donnees observees, elle estime les parametres d'un modele inconnu et teste des hypotheses. Les deux disciplines sont liees : on utilise les lois de probabilite (binomiale, normale, Student) pour construire des intervalles de confiance et des tests statistiques.

La loi des grands nombres affirme que la frequence observee d'un evenement converge vers sa probabilite theorique quand le nombre d'essais tend vers l'infini. Si on lance une piece equilibree 10 fois on peut obtenir 7 faces (70 pourcent), mais sur 10 000 lancers la frequence sera tres proche de 50 pourcent. Cette loi justifie l'estimation des probabilites par des frequences sur de grands echantillons et explique pourquoi les casinos gagnent sur le long terme.

En seconde on introduit la probabilite d'un evenement et les frequences. En premiere generale (specialite maths) on etudie les probabilites conditionnelles, l'independance, les arbres ponderes et la loi binomiale. En terminale (specialite maths) on approfondit avec les variables aleatoires reelles, l'esperance, la variance, la loi des grands nombres, et en option maths expertes on aborde les sommes de variables aleatoires. La filiere technologique aborde les memes notions de base avec moins de formalisme.

L'erreur du joueur consiste a croire que des evenements passes independants influencent les evenements futurs. Apres 10 faces consecutives a la roulette, le prochain tirage rouge ou noir reste a 18/37 (en tenant compte du zero) : la roulette n'a pas de memoire. Pour eviter cette erreur, verifiez d'abord si les evenements sont vraiment independants. La loi des grands nombres garantit la convergence sur un grand nombre d'essais, pas une compensation des resultats sur le court terme.