0! = 1 é uma convenção adotada para que as fórmulas fundamentais se mantenham coerentes. O produto vazio (multiplicar nenhum fator) vale 1, e definições como ⁿC_0 = n! / (0! · n!) = 1 e a série de Taylor 1 + x/1! + x²/2! + ... só funcionam se 0! for igual a 1. Esta convenção é a que consta nos manuais escolares portugueses homologados pela Direção-Geral da Educação (DGE).

Os fatoriais surgem no domínio de Combinatória e Probabilidades do programa de Matemática A homologado pela DGE. As permutações P_n = n!, os arranjos sem repetição ⁿA_p = n! / (n − p)! e as combinações ⁿC_p = n! / [p!(n − p)!] contam arranjos e seleções, sendo recorrentes nos Exames Nacionais administrados pelo IAVE (Instituto de Avaliação Educativa) na disciplina de Matemática A (código 635) e também na distribuição binomial estudada no mesmo domínio.

A aproximação de Stirling diz que n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ para n grande. É útil quando os fatoriais exatos são demasiado grandes para serem armazenados ou quando basta conhecer a ordem de grandeza, como em mecânica estatística, teoria da informação ou análise de complexidade de algoritmos. O erro relativo diminui à medida que n cresce, tema abordado em disciplinas de Análise Matemática no ensino superior português, como nas licenciaturas em Matemática da Universidade de Coimbra.

A função gama Γ(z) é definida por um integral impróprio e satisfaz Γ(n + 1) = n! para todo o inteiro n não negativo. Estende os fatoriais a todos os números complexos exceto os inteiros não positivos, o que permite calcular valores como (1/2)! = √π / 2, frequentes em Estatística e em Física. A função gama é estudada em disciplinas de Análise Complexa nos cursos de Matemática das universidades portuguesas.

O fatorial duplo n!! é o produto de inteiros saltando um de cada vez até 1 ou 2. Por exemplo, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 e 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Não é igual a (n!)!, que seria o fatorial de um fatorial. Os fatoriais duplos aparecem em fórmulas do volume de bolas n-dimensionais e em alguns integrais trigonométricos abordados em Cálculo Integral.

Mais depressa do que qualquer função exponencial. Tem-se 5! = 120, 10! = 3 628 800 e 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸. A partir de 70!, o resultado ultrapassa 10¹⁰⁰ (um googol), e 170! está próximo do limite superior da vírgula flutuante de dupla precisão padrão (IEEE 754), com cerca de 10³⁰⁶.

Não. O fatorial está definido apenas para inteiros não negativos. A função gama estende a ideia a outros números, mas Γ(z) tem polos simples em z = 0, −1, −2, ..., pelo que os inteiros negativos não admitem valor de fatorial finito.