Calculadora de Factorial
Calcula factoriales (n!) para permutaciones, combinaciones y probabilidad
Formulas de Factorial
¿Que es un Factorial?
Un factorial, denotado por n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Los factoriales son fundamentales en matematicas, particularmente en conteo, probabilidad y combinatoria.
La funcion factorial crece extremadamente rapido. Mientras que 5! = 120, al llegar a 10! obtienes 3,628,800, y 20! excede los 2 quintillones. Este crecimiento rapido hace que los factoriales sean importantes en analisis de complejidad y diseno de algoritmos.
Por convencion, 0! se define como 1. Esto no es intuitivo, pero es necesario para que muchas formulas matematicas funcionen correctamente, especialmente en combinatoria donde elegir 0 elementos de un conjunto debe dar exactamente 1 forma (no elegir nada).
Aplicaciones de los Factoriales
Permutaciones
P(n,r) = n!/(n-r)! cuenta arreglos donde el orden importa.
Combinaciones
C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] cuenta selecciones donde el orden no importa.
Probabilidad
Usado en distribucion binomial, distribucion de Poisson y otros calculos de probabilidad.
Series de Taylor
Los factoriales aparecen en denominadores de expansiones de series de Taylor para sen, cos, e^x.
Valores Comunes de Factorial
Aqui estan los primeros 15 valores de factorial para referencia rapida:
| n | n! | Digitos | Usos |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | Por definicion |
| 1 | 1 | 1 | Caso base |
| 5 | 120 | 3 | Arreglos de mano |
| 7 | 5,040 | 4 | Permutaciones de semana |
| 10 | 3,628,800 | 7 | Arreglos de digitos |
| 12 | 479,001,600 | 9 | Permutaciones de meses |
| 15 | 1,307,674,368,000 | 13 | Calculos grandes |
Propiedades Importantes del Factorial
Propiedad Recursiva
n! = n × (n-1)!. Esta propiedad es util para calcular factoriales programaticamente y entender relaciones de factorial.
Aproximacion de Stirling
Para n grande: n! ≈ √(2πn)(n/e)^n. Esta aproximacion es util cuando los factoriales exactos son demasiado grandes para calcular.
Ceros Finales
El numero de ceros finales en n! es igual a floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ... Esto cuenta cuantas veces 10 divide a n!.
Funcion Gamma
Los factoriales se extienden a no enteros via Γ(n+1) = n!. La funcion gamma permite calculos tipo factorial para cualquier numero real positivo.
Preguntas Frecuentes
¿Por que 0! es igual a 1?
Por convencion y consistencia matematica. El producto vacio (multiplicar ningun numero) es 1, y esto hace que formulas como C(n,0) = n!/(0!×n!) = 1 funcionen correctamente.
¿Se puede calcular el factorial de numeros negativos?
No, los factoriales solo estan definidos para enteros no negativos. Sin embargo, la funcion gamma Γ(n) extiende el concepto a numeros complejos excepto enteros negativos.
¿Cual es el factorial mas grande que una calculadora puede manejar?
La mayoria de las calculadoras desbordan alrededor de 170! que excede 10^300. Esta calculadora usa tecnicas especiales para mostrar factoriales mas grandes en notacion cientifica.
¿Como calculo el doble factorial?
Doble factorial n!! significa multiplicar cada otro numero: 7!! = 7×5×3×1 = 105. No es (n!)! sino una operacion separada usada en combinatoria.
Consejos Pro
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