Il logaritmo neperiano, o logaritmo naturale, è il logaritmo che ha come base il numero di Nepero e ≈ 2,71828..., una costante matematica trascendente introdotta storicamente da John Napier (in italiano Giovanni Nepero) all'inizio del Seicento e formalizzata in seguito da Leonhard Euler. Si indica con ln(x) ed è definito come l'unico valore y tale che e^y = x, con x > 0. La base e emerge in modo naturale come limite (1 + 1/n)^n per n → +∞ e come somma della serie 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., e ricorre spontaneamente in analisi matematica perché la funzione f(x) = e^x è l'unica funzione esponenziale che coincide con la propria derivata. Per questo motivo il logaritmo neperiano è la scelta privilegiata in analisi, fisica matematica e nei modelli di crescita o decadimento esponenziale studiati nel quinto anno del liceo scientifico secondo le Indicazioni Nazionali del MIM.

Il logaritmo decimale, indicato con Log(x) o log₁₀(x), ha base 10 ed è stato per secoli lo strumento di calcolo principale prima dell'avvento delle calcolatrici elettroniche, grazie alle celebri tavole logaritmiche di Henry Briggs. Il logaritmo neperiano, indicato con ln(x), ha invece base e ed è quello che compare naturalmente nelle derivate e negli integrali. Nei manuali di matematica italiani per il liceo scientifico la notazione 'log' senza pedice indica solitamente il logaritmo decimale, mentre 'ln' indica esclusivamente il logaritmo naturale; in alcuni testi universitari di analisi, invece, 'log' senza pedice può indicare il logaritmo naturale. Le due funzioni sono legate dalla relazione di cambio di base log₁₀(x) = ln(x) / ln(10), con ln(10) ≈ 2,3026, per cui per passare da uno all'altro basta moltiplicare o dividere per questo fattore costante.

Le proprietà fondamentali dei logaritmi, valide per ogni base b > 0 e b ≠ 1 e per argomenti strettamente positivi, sono cinque e ricorrono regolarmente nelle prove di matematica dell'esame di Stato del liceo scientifico. La regola del prodotto stabilisce che log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); la regola del quoziente afferma che log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y); la regola della potenza che log_b(x^n) = n · log_b(x); la formula del cambio di base che log_b(x) = log_c(x) / log_c(b) per qualsiasi base ausiliaria c valida; infine le identità log_b(1) = 0 e log_b(b) = 1. A queste si aggiungono i valori notevoli ln(e) = 1 e log₁₀(10) = 1, oltre alla relazione inversa b^(log_b(x)) = x e log_b(b^x) = x, utili per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.

In chimica la scala pH misura l'acidità o la basicità di una soluzione acquosa ed è definita come pH = −log₁₀([H⁺]), dove [H⁺] è la concentrazione molare degli ioni idrogeno espressa in mol/L. La definizione logaritmica permette di rappresentare con numeri piccoli concentrazioni che spaziano su molti ordini di grandezza: una soluzione neutra a 25 °C ha [H⁺] = 1 × 10⁻⁷ mol/L e quindi pH = 7, mentre il succo gastrico con [H⁺] ≈ 1 × 10⁻² mol/L ha pH = 2 e una soluzione di soda caustica con [H⁺] ≈ 1 × 10⁻¹³ mol/L ha pH = 13. La natura logaritmica della scala implica che una differenza di una unità di pH corrisponde a un rapporto di 10 fra le concentrazioni di ioni idrogeno: una soluzione a pH 4 è dieci volte più acida di una a pH 5 e cento volte più acida di una a pH 6, come previsto dal programma di chimica del liceo scientifico opzione scienze applicate.

La scala Richter, introdotta da Charles Richter nel 1935, esprime la magnitudo locale M_L di un terremoto come logaritmo decimale dell'ampiezza massima A delle oscillazioni registrate dal sismografo, secondo la formula M_L = log₁₀(A / A₀), dove A₀ è un'ampiezza di riferimento; oggi l'INGV utilizza prevalentemente la magnitudo momento M_w, di natura sempre logaritmica ma legata all'energia rilasciata. Un incremento di un'unità di magnitudo corrisponde a circa dieci volte l'ampiezza del moto del suolo e a circa trentadue volte l'energia rilasciata. La scala dei decibel, usata in acustica per quantificare l'intensità sonora, è definita come dB = 10 · log₁₀(I / I₀), con I₀ = 10⁻¹² W/m² (soglia di udibilità a 1000 Hz); un aumento di 10 dB equivale a un decuplicarsi dell'intensità, ma alla percezione soggettiva di un raddoppio della sonorità. Per la tutela della salute il D.Lgs. 81/2008 fissa a 80 dB(A) il livello inferiore di azione e a 87 dB(A) il valore limite di esposizione giornaliera.

Secondo le Indicazioni Nazionali del Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM, già MIUR) per i Licei (D.P.R. 89/2010 e successivi allegati), le funzioni esponenziali e logaritmiche fanno parte dei nuclei tematici del secondo biennio e del quinto anno. Nei licei scientifici, scientifici opzione scienze applicate e classici, gli studenti incontrano i logaritmi nel terzo o quarto anno nell'ambito dello studio delle funzioni elementari, delle equazioni e delle disequazioni; ne approfondiscono poi le proprietà nel quinto anno in analisi, in connessione con derivate, integrali, modelli di crescita malthusiana e decadimento radioattivo. Le prove di matematica della maturità scientifica del MIM contengono regolarmente quesiti su risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche, studio di funzioni del tipo f(x) = ln(x), f(x) = x · ln(x) o f(x) = ln(x) / x e calcolo di integrali contenenti logaritmi.

Per risolvere un'equazione logaritmica al liceo scientifico si procede in tre fasi. Prima si determina il dominio (Condizioni di Esistenza, C.E.) imponendo che ogni argomento di logaritmo sia strettamente maggiore di zero e che le basi siano positive e diverse da 1. Poi, applicando le proprietà di prodotto, quoziente, potenza e cambio di base, si riduce l'equazione alla forma log_b(f(x)) = log_b(g(x)) oppure log_b(f(x)) = k, da cui per iniettività si ottiene rispettivamente f(x) = g(x) oppure f(x) = b^k. Infine si verifica che le soluzioni trovate appartengano al dominio iniziale, scartando quelle estranee. Per le disequazioni si applica la stessa strategia, ma occorre tener conto del verso della disuguaglianza in funzione della base: con b > 1 la funzione logaritmica è crescente e il verso si conserva, con 0 < b < 1 è decrescente e il verso si inverte. Questo schema è quello usato negli eserciziari dei principali editori italiani come Zanichelli e Mondadori Education.