Calculez des logarithmes avec n'importe quelle base, y compris le log naturel et le log decimal
Un logarithme repond a la question : "A quelle puissance doit-on elever la base pour obtenir ce nombre ?" Si log2(8) = 3, cela signifie que 2^3 = 8. Les logarithmes sont l'operation inverse de l'exponentiation.
Il existe deux bases de logarithmes couramment utilisees : le logarithme naturel (ln) de base e ~ 2,718, utilise en calcul infinitesimal et sciences naturelles ; et le logarithme decimal (log10) de base 10, utilise en ingenierie et l'echelle des decibels.
Les logarithmes transforment la multiplication en addition, ce qui historiquement rendait possible les calculs complexes avant les ordinateurs. Aujourd'hui, ils sont essentiels pour mesurer l'intensite des seismes (echelle de Richter), les niveaux sonores (decibels), le pH en chimie et la croissance/decroissance exponentielle.
Base 10. Utilise pour les decibels, l'echelle de pH, l'echelle de Richter. log10(100) = 2.
Base e ~ 2,718. Utilise en calcul infinitesimal, croissance continue, physique. ln(e) = 1.
Base 2. Utilise en informatique pour les calculs de bits. log2(8) = 3.
Toute base positive sauf 1. Convertie avec la formule de changement de base.
Maitrisez ces regles pour simplifier les expressions logarithmiques :
| Regle | Formule | Exemple | Resultat |
|---|---|---|---|
| Produit | log(xy) = log(x) + log(y) | log(2x5) | log(10) = 1 |
| Quotient | log(x/y) = log(x) - log(y) | log(100/10) | 2 - 1 = 1 |
| Puissance | log(x^n) = n*log(x) | log(10^2) | 2*log(10) = 2 |
| Racine | log(Vx) = log(x)/2 | log(V100) | 2/2 = 1 |
| Identite | log_b(b) = 1 | log10(10) | = 1 |
| Zero | log_b(1) = 0 | log10(1) | = 0 |
La magnitude d'un seisme est le log10 de l'amplitude. Chaque unite entiere d'augmentation = 10 fois plus de mouvement du sol. Une magnitude 6 est 10 fois plus forte qu'une magnitude 5.
L'intensite sonore mesuree en dB = 10*log10(I/I0). Chaque augmentation de 10 dB = 10 fois plus d'intensite sonore. 90 dB est 10 fois plus fort que 80 dB.
pH = -log10[H+]. Chaque unite de pH = 10 fois de difference en acidite. Un pH de 4 est 10 fois plus acide qu'un pH de 5.
Les logarithmes revelent le temps de doublement dans la croissance. Temps de doublement = ln(2)/taux de croissance ~ 0,693/r.
Dans les nombres reels, aucune puissance d'une base positive ne produit un resultat negatif. log(-8) est indefini dans les reels. Les logarithmes complexes s'etendent aux nombres negatifs en utilisant les nombres imaginaires.
log signifie generalement log10 (log decimal), tandis que ln est log_e (log naturel, base e). En mathematiques pures, "log" signifie souvent log naturel, mais en ingenierie et sur les calculatrices, il signifie generalement log10.
Convertissez en forme exponentielle : si log2(x) = 5, alors x = 2^5 = 32. Pour les equations comme log(x) + log(x-3) = 1, combinez avec la regle du produit, puis convertissez en forme exponentielle.
e ~ 2,71828 est le nombre d'Euler, base des logarithmes naturels. Il apparait naturellement dans les interets composes, la croissance/decroissance et le calcul infinitesimal. Il est defini comme lim(1 + 1/n)^n quand n tend vers l'infini.
Calculer log10(1000) pour trouver l'exposant qui transforme la base 10 en 1000.
Résultat3
On se demande : a quelle puissance faut-il elever 10 pour obtenir 1000 ? Puisque 10^3 = 10 x 10 x 10 = 1000, la reponse est 3. La forme exponentielle s'ecrit 10^3 = 1000, ce qui est exactement ce que le logarithme renverse.
Le logarithme neperien, note ln, est le logarithme de base e ou e ~ 2,71828 est le nombre d'Euler. On a ln(e) = 1 et ln(1) = 0. Il est central en analyse et au programme de terminale car la fonction exponentielle exp est sa reciproque : exp(ln(x)) = x pour tout x > 0, et ln(exp(x)) = x pour tout reel x.
Le log decimal, note log ou log10, utilise la base 10 : log10(1000) = 3 car 10^3 = 1000. Le logarithme neperien ln utilise la base e ~ 2,718. En France, on rencontre surtout ln au lycee et dans les sciences, et log10 en chimie (pH), acoustique (decibels) et sismologie (echelle de Richter).
Pour tout a > 0 et b > 0, et tout entier n : ln(a*b) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(a^n) = n*ln(a) et ln(1/a) = -ln(a). Ces regles transforment produits et puissances en sommes, ce qui simplifie les equations et les expressions complexes.
La derivee de ln(x) est 1/x pour tout x > 0. Pour le log decimal, la derivee de log10(x) est 1/(x*ln(10)) car log10(x) = ln(x)/ln(10). Plus generalement, la derivee de log_b(x) est 1/(x*ln(b)).
Le pH d'une solution est defini par pH = -log10[H+] ou [H+] est la concentration en ions hydrogene en mol/L. Une variation d'une unite de pH correspond a un facteur 10 sur la concentration : une solution de pH 3 est dix fois plus acide qu'une solution de pH 4 et cent fois plus acide qu'une solution de pH 5.
L'echelle de Richter mesure la magnitude d'un seisme comme le log10 de l'amplitude maximale enregistree : passer de la magnitude 5 a la magnitude 6 correspond a une amplitude 10 fois plus grande. Les decibels mesurent l'intensite sonore par dB = 10*log10(I/I0) ou I0 est une intensite de reference. Une hausse de 10 dB correspond a une intensite 10 fois plus forte.
Le logarithme intervient des qu'on etudie des grandeurs sur plusieurs ordres de grandeur ou des phenomenes de croissance exponentielle : demi-vie radioactive, interets composes, croissance de populations, datation au carbone 14. Le temps de doublement d'une grandeur croissant au taux r est donne par ln(2)/r ~ 0,693/r.
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