Calculez les factorielles (n!) pour les permutations, combinaisons et probabilites
Une factorielle, notee n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 a n. Par exemple, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Les factorielles sont fondamentales en mathematiques, notamment en denombrement, probabilites et combinatoire.
La fonction factorielle croit extremement rapidement. Alors que 5! = 120, des que vous atteignez 10!, vous obtenez 3 628 800, et 20! depasse 2 trillions. Cette croissance rapide rend les factorielles importantes en analyse de complexite et conception d'algorithmes.
Par convention, 0! est defini comme 1. Ce n'est pas intuitif, mais c'est necessaire pour que de nombreuses formules mathematiques fonctionnent correctement, notamment en combinatoire ou choisir 0 elements dans un ensemble doit donner exactement 1 possibilite (ne rien choisir).
P(n,r) = n!/(n-r)! compte les arrangements ou l'ordre compte.
C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] compte les selections ou l'ordre ne compte pas.
Utilisees dans la distribution binomiale, la distribution de Poisson et d'autres calculs de probabilite.
Les factorielles apparaissent aux denominateurs des developpements en series de Taylor pour sin, cos, e^x.
Voici les 15 premieres valeurs de factorielles pour reference rapide :
| n | n! | Chiffres | Utilisation |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | Par definition |
| 1 | 1 | 1 | Cas de base |
| 5 | 120 | 3 | Arrangements de la main |
| 7 | 5 040 | 4 | Permutations de la semaine |
| 10 | 3 628 800 | 7 | Arrangements de chiffres |
| 12 | 479 001 600 | 9 | Permutations de mois |
| 15 | 1 307 674 368 000 | 13 | Grands calculs |
n! = n x (n-1)!. Cette propriete est utile pour calculer les factorielles par programmation et comprendre les relations factorielles.
Pour les grands n : n! ~ V(2 pi n)(n/e)^n. Cette approximation est utile quand les factorielles exactes sont trop grandes pour etre calculees.
Le nombre de zeros terminaux dans n! est egal a E(n/5) + E(n/25) + E(n/125) + ... Cela compte combien de fois 10 divise n!.
Les factorielles s'etendent aux non-entiers via Gamma(n+1) = n!. La fonction gamma permet des calculs de type factoriel pour tout nombre reel positif.
Par convention et pour la coherence mathematique. Le produit vide (multiplier aucun nombre) vaut 1, et cela permet a des formules comme C(n,0) = n!/(0! x n!) = 1 de fonctionner correctement.
Non, les factorielles ne sont definies que pour les entiers non negatifs. Cependant, la fonction gamma Gamma(n) etend le concept aux nombres complexes sauf les entiers negatifs.
La plupart des calculateurs debordent vers 170! qui depasse 10^300. Ce calculateur utilise des techniques speciales pour afficher les factorielles plus grandes en notation scientifique.
La double factorielle n!! signifie multiplier un nombre sur deux : 7!! = 7 x 5 x 3 x 1 = 105. Ce n'est pas (n!)! mais une operation distincte utilisee en combinatoire.
Vous souhaitez connaitre le nombre de facons distinctes d'ordonner 7 livres differents sur une etagere — un probleme classique de permutation resolu avec une factorielle.
Résultat7! = 5 040 arrangements
Multipliez 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Il y a 7 choix pour la premiere place, 6 pour la deuxieme, et ainsi de suite jusqu'a 1. Le produit vaut 5 040, la meme valeur que l'on retrouve dans les formules de permutations comme P(n, r) = n! / (n - r)!.
La factorielle de n, notee n!, est le produit de tous les entiers de 1 a n : n! = 1 x 2 x 3 x ... x n. Par exemple, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24. Cette notion est introduite au lycee dans le cadre du denombrement et reapparait en classe preparatoire ou a l'universite pour les permutations, les combinaisons et les developpements en serie.
On pose 0! = 1 pour assurer la coherence des formules combinatoires et analytiques. Le produit vide vaut 1 par convention, et des identites comme C(n, 0) = n! / (0! (n - n)!) = 1 ou le developpement en serie de e^x = somme x^k / k! pour k allant de 0 a l'infini exigent que 0! soit egal a 1. Sans cette convention, les programmes de terminale et de prepa devraient traiter le cas n = 0 separement.
La fonction Gamma, notee Gamma(z), prolonge la factorielle aux nombres reels et complexes : pour tout entier n positif ou nul, on a Gamma(n + 1) = n!. Elle est definie par l'integrale Gamma(z) = integrale de 0 a l'infini de t^(z-1) e^(-t) dt et permet par exemple de donner un sens a (1/2)! = racine de pi / 2, ce qui est utile en statistiques et en physique mathematique.
Les factorielles permettent de denombrer les arrangements et les selections. Le nombre de permutations de n objets distincts vaut n!, le nombre d'arrangements de p elements parmi n est A(n, p) = n! / (n - p)!, et le nombre de combinaisons est C(n, p) = n! / [p! (n - p)!]. Elles interviennent aussi dans la loi binomiale, la loi de Poisson et les coefficients du triangle de Pascal.
La factorielle apparait au lycee, en classe de premiere et de terminale, dans le cadre du denombrement et des probabilites (specialite mathematiques). Elle est ensuite approfondie en classes preparatoires aux grandes ecoles (CPGE) et a l'universite avec les developpements limites, la formule de Taylor, l'approximation de Stirling et la fonction Gamma. Les programmes officiels sont publies par l'Education nationale (Eduscol).
On utilise la formule de Stirling : n! est equivalent a racine de (2 pi n) fois (n/e)^n quand n tend vers l'infini. Cette approximation donne un excellent ordre de grandeur pour n grand (typiquement n superieur a 10) et sert en analyse de complexite algorithmique, en physique statistique et en theorie de l'information. L'erreur relative diminue avec n.
Parce qu'on multiplie a chaque etape par un facteur de plus en plus grand. Ainsi 10! = 3 628 800, 20! depasse 2,4 x 10^18 et 70! depasse 10^100 (un googol). La factorielle croit plus vite que toute fonction exponentielle a base fixe, ce qui en fait une reference pour comparer les ordres de grandeur en algorithmique.
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