Le score Z se calcule par la formule z = (x - mu) / sigma, ou x est la valeur observee, mu la moyenne de la population et sigma l'ecart type. Cette formule, etudiee en classe de terminale dans le cadre du programme de mathematiques, transforme une valeur brute en un nombre sans unite indiquant combien d'ecarts types separent cette valeur de la moyenne. Pour une moyenne d'echantillon de taille n, on utilise z = (x_barre - mu) / (sigma / racine(n)).

La loi normale centree reduite est la distribution normale de moyenne 0 et d'ecart type 1, notee N(0, 1). Lorsqu'on standardise une variable aleatoire X qui suit une loi normale N(mu, sigma^2) par la transformation Z = (X - mu) / sigma, on obtient une variable Z qui suit cette loi normale centree reduite. C'est cette loi que l'on consulte dans la table de la loi normale pour determiner les probabilites associees a un score Z donne.

Dans une distribution normale, environ 68 % des observations se situent dans l'intervalle [mu - sigma ; mu + sigma], soit |z| < 1. Environ 95 % se situent dans [mu - 2*sigma ; mu + 2*sigma], soit |z| < 2. Et environ 99,7 % dans [mu - 3*sigma ; mu + 3*sigma], soit |z| < 3. Cette regle, parfois appelee regle des trois sigmas, est tres utile pour estimer rapidement la probabilite qu'une valeur soit consideree comme inhabituelle ou aberrante.

La table de la loi normale donne la probabilite cumulee Phi(z) = P(Z <= z) pour chaque valeur de z, generalement avec deux decimales. Pour z = 1,23, on lit la ligne 1,2 et la colonne 0,03 : on obtient Phi(1,23) = 0,8907. Le centile associe est donc 89,07 %. Pour les valeurs negatives, on utilise la symetrie : Phi(-z) = 1 - Phi(z). Les calculatrices scientifiques et les tableurs (NORM.S.DIST sous Excel, loi.normale.standard sous LibreOffice) remplacent souvent la table papier.

Par convention, |z| >= 1,96 est significatif au seuil de 0,05 (test bilateral), |z| >= 2,58 est significatif au seuil de 0,01, et |z| >= 3,29 correspond a 0,001. Ces valeurs critiques sont issues de la loi normale centree reduite : P(|Z| > 1,96) est environ 0,05. En physique des particules, on utilise un seuil beaucoup plus strict de 5 sigma (z autour de 5), pour lequel la probabilite d'un faux positif est d'environ 1 sur 3,5 millions.

On utilise un score Z lorsque l'ecart type de la population sigma est connu ou lorsque la taille de l'echantillon est grande (en general n >= 30, ce qui rend l'ecart type empirique fiable). On utilise un score T (loi de Student) lorsque sigma est inconnu et que l'echantillon est petit, car la loi de Student tient compte de l'incertitude supplementaire liee a l'estimation de sigma. Quand n augmente, la loi de Student converge vers la loi normale centree reduite, et les deux tests donnent des resultats quasi identiques.

Pour convertir un score Z en centile, on cherche la probabilite cumulee Phi(z) dans une table de la loi normale ou avec une fonction comme NORM.S.DIST(z, VRAI) sous Excel, ou scipy.stats.norm.cdf(z) en Python. Le centile correspond a Phi(z) multiplie par 100. Par exemple, z = 1,00 donne Phi(1,00) qui vaut environ 0,8413, soit le 84e centile. Les scores Z negatifs correspondent a des centiles inferieurs a 50.