Il mcm (minimo comune multiplo) è il più piccolo multiplo comune a due o più numeri, mentre il MCD (massimo comun divisore) è il più grande divisore comune. Per 12 e 18: MCD = 6 (il più grande che li divide entrambi) e mcm = 36 (il più piccolo divisibile da entrambi). Vale sempre la relazione mcm(a,b) × MCD(a,b) = a × b, quindi conoscendo uno si ricava facilmente l'altro.

L'algoritmo di Euclide calcola direttamente il MCD: si divide il numero maggiore per il minore, poi il divisore per il resto, ripetendo finché il resto è zero. L'ultimo resto non nullo è il MCD. Esempio: MCD(48, 36) → 48 = 36×1 + 12 → 36 = 12×3 + 0, quindi MCD = 12. Poi mcm(48, 36) = (48 × 36) / 12 = 144. È il metodo più efficiente con numeri grandi ed è incluso nelle Indicazioni nazionali del MIM per la scuola secondaria di primo grado.

Per addizionare o sottrarre frazioni con denominatori diversi serve un denominatore comune, e il mcm dei denominatori è la scelta che mantiene i numeri più piccoli. Esempio: 5/12 + 7/18. Il mcm(12, 18) = 36, quindi 5/12 = 15/36 e 7/18 = 14/36, dunque la somma è 29/36. Senza il mcm si userebbe il prodotto 12 × 18 = 216 e i calcoli sarebbero molto più pesanti.

Sì. Le Indicazioni nazionali del Ministero dell'Istruzione e del Merito (MIM) per il primo ciclo prevedono che gli studenti della scuola secondaria di primo grado sappiano scomporre un numero in fattori primi e calcolare MCD e mcm, sia con i fattori primi sia con l'algoritmo di Euclide. L'argomento ritorna nelle prove INVALSI di terza media e nel primo biennio della secondaria di secondo grado, dove viene esteso a polinomi e frazioni algebriche.

Con la scomposizione in fattori primi: si prende, per ciascun primo presente in almeno un numero, la potenza con esponente più alto. Esempio: mcm(8, 12, 18). Si ha 8 = 2^3, 12 = 2^2 × 3, 18 = 2 × 3^2, quindi mcm = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72. In alternativa si procede a coppie: mcm(8, 12) = 24, poi mcm(24, 18) = 72. Attenzione: l'identità mcm × MCD = prodotto vale solo per due numeri.

Per convenzione il mcm è sempre un intero positivo. Se uno dei numeri è zero, il mcm è zero (perché ogni numero divide zero, ma zero non ha multipli positivi non banali). Con numeri negativi si considera il valore assoluto: mcm(-4, 6) = mcm(4, 6) = 12. Nei libri di testo italiani della scuola media il mcm viene definito sui numeri naturali positivi per evitare ambiguità.

Per ogni primo p, l'esponente nel MCD è min(e_a, e_b) e nel mcm è max(e_a, e_b). Sommando si ottiene min + max = e_a + e_b, cioè l'esponente di p nel prodotto a × b. Poiché questo vale per ogni primo, i due prodotti coincidono. È un risultato classico di teoria dei numeri citato nelle pubblicazioni didattiche dell'INdAM e usato nelle prove INVALSI per verificare la comprensione del legame tra mcm e MCD.