El factorial de un entero no negativo n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 y 6! = 720. Solo se define para enteros no negativos.

La definición directa es n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1. De forma recursiva se expresa como n! = n × (n − 1)!, con el caso base 0! = 1. Esta forma recursiva es la que usan habitualmente los algoritmos para calcular factoriales.

0! = 1 es una convención elegida para que las fórmulas principales sigan siendo consistentes. El producto vacío sin factores vale 1, y definiciones como C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 y la serie de Taylor 1 + x/1! + x²/2! + … solo funcionan si 0! es igual a 1.

Los factoriales son la base del conteo de arreglos y selecciones. Las permutaciones P(n, r) = n! / (n − r)! cuentan ordenaciones donde el orden importa, y las combinaciones C(n, r) = n! / [r!(n − r)!] cuentan selecciones donde el orden no importa. También aparecen en la distribución binomial y la distribución de Poisson.

La función gamma Γ(z) se define mediante una integral y cumple Γ(n + 1) = n! para enteros no negativos n. Esto extiende el factorial a todos los números complejos excepto los enteros no positivos, permitiendo calcular valores como (1/2)! = √π / 2 que aparecen en estadística y física.

Más rápido que cualquier exponencial. 5! = 120, 10! = 3,628,800 y 20! ≈ 2.43 × 10^18. Hacia 70! el resultado supera 10^100 (un googol), y 170! se acerca al límite superior del punto flotante de doble precisión estándar, en torno a 10^306.

La aproximación de Stirling dice que n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n para n grande. Es útil cuando los factoriales exactos son demasiado grandes para almacenarse o cuando solo se necesita el orden de magnitud, como en mecánica estadística, teoría de la información o análisis de complejidad de algoritmos. El error relativo disminuye al aumentar n.

El factorial clásico solo se define para enteros no negativos. La función gamma extiende la idea a otros números, pero Γ(z) tiene polos simples en z = 0, −1, −2, …, así que los enteros negativos no tienen un valor factorial finito. Para valores decimales positivos sí existe una extensión continua vía Γ(z + 1).