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Methodik: Mathematik- und Wissenschaftsrechner

Jeder Mathematik- und Wissenschaftsrechner basiert auf einer veroeffentlichten Formel, wird mit Rechenbeispielen validiert und gegen massgebliche Referenzen geprueft. Diese Seite listet diese Formeln, Konventionen, Fallstricke und Fachbegriffe auf.

Kanonische Formeln

Satz des Pythagoras

Fuer ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c gilt a^2 + b^2 = c^2. Zugleich die Grundlage fuer den euklidischen Abstand d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Stichproben-Standardabweichung (Bessel-Korrektur)

s = sqrt( sum((x_i - xquer)^2) / (n - 1) ). Der Nenner (n - 1) liefert einen erwartungstreuen Schaetzer fuer die Populationsvarianz. Die Populationsform verwendet N und gilt nur, wenn die vollstaendige Grundgesamtheit beobachtet wird.

Fakultaeten, Permutationen, Kombinationen

n! = 1 * 2 * ... * n mit 0! = 1. P(n, r) = n! / (n - r)! zaehlt geordnete Auswahlen; C(n, r) = n! / (r! (n - r)!) zaehlt ungeordnete.

Logarithmus-Basiswechsel

Fuer positive b != 1 gilt log_b(x) = ln(x) / ln(b). So lassen sich Logarithmen zu beliebiger Basis ueber den natuerlichen Logarithmus der Laufzeit darstellen.

Trigonometrische Identitaeten

sin^2(t) + cos^2(t) = 1 sowie die Additionstheoreme sin(a +/- b) = sin a cos b +/- cos a sin b, cos(a +/- b) = cos a cos b -/+ sin a sin b.

Definitionen der SI-Einheiten

Die sieben SI-Basiseinheiten werden durch Festlegung der Werte von sieben Konstanten definiert (Delta nu_Cs, c, h, e, k, N_A, K_cd). Umrechnungen verwenden exakte Faktoren aus der SI-Broschuere.

Wie wir pruefen und aktualisieren

Jeder Rechner setzt eine benannte Formel um, die mit Rechenbeispielen aus der zitierten Quelle validiert wird. Dieselben Beispiele laufen als automatisierte Tests, sodass Refactorings ein Ergebnis nicht stillschweigend veraendern koennen. Wenn eine Quelle aktualisiert wird (eine neue SI-Broschuere oder eine DLMF-Revision), fuehren wir die betroffenen Tests erneut aus und aktualisieren das lastReviewed-Datum.

Haeufige Fallstricke

  • Stichproben- vs. Populationsstandardabweichung. Die Verwendung von N statt N - 1 fuer eine Stichprobe unterschaetzt die Variabilitaet. Statistikwerkzeuge nutzen standardmaessig die Stichprobenform.
  • Grad und Bogenmass. JavaScript-Trigonometriefunktionen erwarten Bogenmass. Jeder Trigonometrierechner bietet einen DEG/RAD-Schalter und rechnet ueber theta_rad = theta_deg * pi / 180 um.
  • US- vs. UK-Gallonen. 1 US-Gallone = 3,785411784 L; 1 imperiale Gallone = 4,54609 L - ein Unterschied von rund 20 %. Einheitenwahlfelder zeigen 'gal (US)' oder 'gal (UK)', niemals eine allgemeine 'Gallone'.
  • Masse vs. Gewichtskraft (lb vs. lbf). Masse (kg, lb) und Gewichtskraft (N, lbf) haengen ueber W = m * g zusammen, sind aber nicht austauschbar. Unsere Rechner mischen lb niemals stillschweigend mit lbf.
  • Temperatur-Offsets. T_K = T_C + 273,15; T_F = T_C * 9/5 + 32. Konverter wenden den Offset fuer absolute Temperaturen an und nutzen fuer Differenzen nur das Verhaeltnis.
  • Fliesskomma-Reste. Die Subtraktion fast gleich grosser Fliesskommazahlen kann Reste in der Naehe von 1e-16 erzeugen. Wir runden auf sinnvolle signifikante Stellen und behandeln Werte unterhalb von Epsilon als Null.

Glossar

Signifikante Stellen
Ziffern, die eine sinnvolle Aufloesung tragen.
Wissenschaftliche Notation
a * 10^b mit 1 <= |a| < 10 und ganzzahligem b.
Mittelwert
Summe von n Werten geteilt durch n.
Median
Mittlerer Wert einer sortierten Liste; robust gegenueber Ausreissern.
Varianz
Durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert; die Stichprobenform nutzt (n - 1).
Standardabweichung
Quadratwurzel der Varianz, in derselben Einheit wie die Daten.
Fakultaet
n! = 1 * 2 * ... * n, mit 0! = 1.
Permutation
Geordnete Auswahl: P(n, r) = n! / (n - r)!.
Kombination
Ungeordnete Auswahl: C(n, r) = n! / (r! (n - r)!).
Radiant
SI-Einheit des ebenen Winkels; 2 pi rad = 360 Grad.
SI-Basiseinheit
Eine von sieben Einheiten (m, kg, s, A, K, mol, cd), aus denen alle SI-Einheiten abgeleitet sind.
Definierende Konstante
Eine von sieben festgelegten Konstanten (c, h, k, ...), die das SI seit 2019 definieren.
Dimensionsanalyse
Mitfuehren der Einheiten durch eine Rechnung, um Fehler zu erkennen.
Groessenordnung
Die Zehnerpotenz, die einem Wert am naechsten liegt; dient als Plausibilitaetspruefung.
Epsilon
Kleine Schwelle, unterhalb derer zwei Fliesskommazahlen als gleich behandelt werden.